Интегралов

Приведем один из способов вычисления определенных интегралов методом Монте—Карло— способ усреднения подынтегральной функции.

Требуется найти оценку I ₁ ^* определенного интеграла

Рассмотрим случайную величину X, распределенную равномерно в интервале интегрирования (а, b)с плотностью f (х) = 1 / (b — а). Тогда математическое ожидание

Отсюда

Заменим математическое ожидание его оценкой—выборочной средней, получим оценку I ₁ ^* искомого интеграла:

где x_i— возможные значения случайной величины X. Так как величина Х распределена равномерно в интервале (а, b)с плотностью f (x) =1/ (b—а), то х_i, разыгрывают по формуле (см. гл. XXI, § 7, правило 2). Отсюда х_i=а+ (b—а) r_i.

Пример. Наитии: а) оценку I ₁ ^* определенного интеграла б) абсолютную погрешность | I-I ₁ ^* |; в) минимальное число испытаний, которые с надежностью γ= 0,95 обеспечат верхнюю границу ошибки δ;=0,1.

Решение. Используем формулу

По условию a =1, b ==3, φ;(х) =х+ 1. Примем для простоты число испытаний n =10. Тогда оценка

Результаты 10 испытаний приведены в табл. 36. Случайные числа взяты из приложения 9 с тремя знаками после запятой.

Таблица 36

Номер испытания i
r 1 2r 1 xi= 1 + 2 r 1	0,100 0,200 1.200	0,973 1,946 2,946	0,253 0,506 1,506	0,376 0,752 1.752	0,520 1,040 2,040	0,135 0,270 1,270	0,863 1.726 2,726	0,467 0,934 1,934	0,354 0,708 1.708	0.876 1,752 2,752
φ;(xi)= xi +1	2,200	3,946	2,506	2,752	3,040	2,270	3,726	2,934	2,708	3,752

 

Сложив числа последней строки таблицы, находим

Искомая оценка интеграла

I ₁ ^* =2·(29,834/10) ==5,967.

б) Найдем абсолютную погрешность, приняв во внимание, что

| I- I ₁ ^* |=6—5,967=0,033.

в) Найдем дисперсию усредняемой функции φ;(Х) =Х +1, учитывая, что случайная величина Х в интервале интегрирования (1,3) распределена равномерно и ее дисперсия D (X) = (3—1)²/12 (см. гл. XII, § 1, пример 2):

σ;² =D (X +1)= D (X)=1/3.

г) Найдем минимальное число испытаний, которые с надежностью 0,95 обеспечат верхнюю границу ошибки δ;=0,1. Из равенства Ф (t)=0,95/2=0,475 по таблице приложения 2 находим t =1,96. Искомое минимальное число испытаний