Распределение по модулю скоростей

Обычно, более интересно распределение по абсолютному значению, а не по проекциям скоростей молекул. Модуль скорости, v определяется как:

поэтому модуль скорости всегда будет больше или равен нулю. Так как все распределены нормально, то будет иметь хи-квадрат распределение с тремя степенями свободы. Если — функция плотности вероятности для модуля скорости, то:

,

где

таким образом, функция плотности вероятности для модуля скорости равна

 

Распределение ферми дирака

 

— среднее число частиц в состоянии ,

— энергия состояния ,

— кратность вырождения состояния (число состояний с энергией ),

— химический потенциал (который равен энергии Ферми при абсолютном нуле температуры),

— постоянная Больцмана,

— абсолютная температура.

 

Распределение (каноническое) Гиббса — распределение состояний макроскопической термодинамической системы частиц, находящейся в тепловом равновесии с термостатом (окружающей средой). В классическом случае плотность распределения равна

где — совокупность канонических переменных частиц ( координат и импульсов), — совокупность внешних параметров, — гамильтониан (функция Гамильтона) системы, — параметр распределения. Величину называют модулем распределения. Можно показать, что модуль распределения , где — абсолютная температура, — постоянная Больцмана. — параметр, определяемый исходя из условия нормировки , откуда следует, что

называют интегралом состояний.

Часто используют следующую параметризацию распределения Гиббса:

где — так называемая свободная энергия системы.

В квантовом случае предполагается счётное множество энергетических уровней, и вместо плотности распределения рассматривается вероятность нахождения системы в том или ином состоянии:

Условие нормировки имеет вид , следовательно

что является аналогом интеграла состояний и называется суммой состояний или статистической суммой.