Дуополия Хотеллинга

Простая модель, предложенная в 1929 г. Г. Хотеллингом, в качестве одного из допущений использует пространственную дифференциацию продукта.

Предполагается, что покупателями являются жители города, расположенного вдоль прямой (например, вдоль шоссейной или железной дороги). Длина города равна H, и он заселен равномерно. Две фирмы располагаются на противоположных концах города. Единственное различие производимого ими продукта состоит в том, что он продается в разных местах. Спрос — абсолютно неэластичный: в единицу времени жители желают приобрести a единиц товара на единицу длины вне зависимости от цены. Доставка товара требует от покупателя затрат в размере t за единицу товара на единицу расстояния.

Покупатель, находящийся на расстояниях x ₁ и x ₂ от фирм, сравнивает свои расходы на покупку и доставку единицы товара от каждой из фирм (p ₁ + tx ₁ и p ₂ + tx ₂) и выбирает ту из фирм, чей товар обходится ему дешевле. Таким образом, город разбивается на две зоны, каждая из которых примыкает к «своей» фирме. Граница между зонами располагается на таких расстояниях x ₁ и x ₂ от фирм, где горожанам безразлично, у какой фирмы производить свои покупки. Положение границы определяется уравнениями

p ₁ + tx ₁ = p ₂ + tx ₂;

x ₁ + x ₂ = H,

откуда

x ₁ = ; x ₂ = ,

что позволяет записать функции спроса на продукцию фирм следующим образом:

D ₁(p ₁, p ₂) = ; D ₂(p ₁, p ₂) = .

Приведенные выражения справедливы, если более высокая цена превышает более низкую меньше, чем на величину tH — стоимость транспортировки единицы товара через весь город: при большей разнице цен фирма, назначившая высокую цену, не сможет продать ничего. Будем считать, что | p ₁ – p ₂| < tH.

Выражения для спроса позволяют представить прибыль каждой фирмы в виде функции от обеих цен:

P₁(p ₁, p ₂) = ;

P₂(p ₁, p ₂) = .

Так как прибыль описывается непрерывно дифференцируемыми вогнутыми функциями, равновесие Нэша удовлетворяет дифференциальным условиям (¶P _i / ¶ x_i = 0, i =1, 2, …, N), которые применительно к рассматриваемой задаче принимают конкретный вид:

; .

Разрешая первое из уравнений относительно p ₁, второе — относительно p ₂, получаем в явном виде функции реагирования фирм:

; .

Совместное решение уравнений, порождаемых функциями реагирования, определяет равновесные цены:

; . (30)

В частном случае, когда затраты фирм одинаковы,

p ₁ = p ₂ = c + tH.

Приведенные результаты показывают, что пространственная дифференциация продукта создает условия для осуществления рыночной власти фирм, причем власть фирм оказывается тем сильнее, чем больше затраты на перевозку tH. И километровый тариф t, и взаимное удаление H мест продажи служат предпосылками рыночной власти фирм.

Все выкладки, приведшие к результату (30), сделаны в предположении существования внутреннего равновесия Нэша. Но в дуополии Хотеллинга, как и в олигополии Курно, могут также существовать граничные положения равновесия, означающие несовместимость фирм в пределах одного рынка. Легко убедиться, что при | c ₁ – c ₂|³ 3 tH равенства (30) привели бы к таким ценам, при которых | p ₁ – p ₂|³ ³ tH, а ранее было оговорено, что в такой ситуации фирма с более дешевым товаром захватывает весь городской рынок.

Пример с линейным городом служит иллюстрацией эффекта дифференциации продукта. Он служит метафорой дифференциации продукта в пространстве потребительских свойств товаров, где выбор потребителем той или иной разновидности определяется и соотношением цен, и степенью отличия свойств предлагаемых разновидностей от идеала данного потребителя.