Октября 2014 года

1. Найти все положительные содержащие по 5 членов арифметические прогрессии с разностью 6, все члены которых являются простыми числами.

2. Найти все положительные решения системы

3. Найти все непрерывно-дифференцируемые функции такие, что

.

4. Луч, отражаясь от сторон треугольника , движется по замкнутой траектории ; , , .Найти координаты вершин треугольника .

5. Решить уравнение , .

6. Пусть - локально интегрируемая на функция и . Найти .

7. Полином с неотрицательными коэффициентами имеет 2014 вещественных корней .

Докажите, что функция удовлетворяет неравенству

8. Исследуйте на сходимость ряд в зависимости от значений вещественного параметра , где - число перестановок n -элементного множества, не имеющих неподвижных точек.

9. Возможно ли разбить параллелепипед с основанием на плоскости xOy на конечное число тетраэдров, каждый из которых имеет грань, параллельную плоскости xOy?

10. Пусть . Определим , для Предположим, что для любого n предел существует (конечный или бесконечный) и обозначим его за . Показать, что для любого или, начиная с некоторого номера , последовательность имеет вид 0,1,0,1,0,1,…

11. – непрерывная функция, удовлетворяющая условию.

для любого . Найти .

12. Расстояние между пунктами А и В 100 км. Постоянный ветер со скоростью 50 км/ч дует перпендикулярно отрезку АВ. Самолет Ан-2 с собственной скоростью 100 км/ч летит из А в В так, что в любой момент времени его нос (то есть вектор собственной скорости) направлен в точку В. Найти время перелета из А в В.