Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Важнейшими характеристиками линейного оператора являются его собственные векторы и собственные значения.

Пусть в линейном пространстве задан линейный оператор .

Определение 5.8. Ненулевой вектор (), удовлетворяющий условию (операторному равенству)

, , (5.3)

называется собственным вектором оператора . Число при этом называется собственным значением (собственным числом) оператора , соответствующим собственному вектору .

Определение 5.9. Множество всех собственных значений оператора называется спектром линейного оператора.

Выберем в пространстве некоторый базис , и пусть оператору в этом базисе соответствует матрица . Тогда операторное равенство (5.3) можно переписать в матричном виде

, ,

или в виде системы уравнений

(5.4)

Так как нас интересуют нетривиальные решения системы (5.4) (поскольку собственный вектор по определению должен быть ненулевым), то основная матрица системы (5.4) должна быть вырожденной, то есть

.

Определение 5.10. Уравнение

(5.5)

называется характеристическим уравнением линейного оператора .

Разложив определитель в уравнении (5.5), получим многочлен

(5.6)

-ой степени относительно . Многочлен (5.6) называется характеристическим многочленом оператора , его корни – характеристическими корнями многочлена (5.6).

Теорема 5.11. Характеристическое уравнение (5.5) оператора не зависит от выбора базиса.

□ Теорема утверждает, что если в пространстве выбраны два различных базиса, то характеристическое уравнение оператора будет иметь один и тот же вид. Пусть оператору в базисах и соответствуют матрицы . Тогда, если матрица перехода от базиса к базису , то

.

Итак, имеем

что и означает, что характеристическое уравнение оператора не зависит от выбора базиса. ■

Согласно теореме 5.11, характеристический многочлен (5.6) и его корни не зависят от выбора базиса, а значит, определение 5.10 введено корректно. При этом характеристическое уравнение и характеристический многочлен являются инвариантами линейного оператора относительно выбора базиса (они являются характеристиками самого оператора, а не его матрицы в конкретном базисе).

Каждому собственному значению линейного оператора соответствуют свои собственные векторы, причем таких векторов бесконечно много. То есть, если есть собственный вектор линейного оператора , то вектор , где , также есть собственный вектор оператора :

.

Теорема 5.12. Для того чтобы число являлось собственным значением линейного оператора , необходимо и достаточно, чтобы оно было корнем характеристического уравнения (5.5) этого оператора.

Определение 5.11. Алгебраической кратностью собственного значения линейного оператора называется кратность корня характеристического уравнения (5.5) (кратность корня характеристического многочлена ). Кратностью корня называется натуральное число такое, что

, , …, , .

Определение 5.12. Спектр линейного оператора называется простым, если алгебраическая кратность каждого собственного значения равна единице. Спектр линейного оператора называется сложным, если среди собственных значений оператора имеется хотя бы одно, алгебраическая кратность которого больше единицы.