Студопедия — Собственные векторы и собственные значения линейного оператора
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора






Важнейшими характеристиками линейного оператора являются его собственные векторы и собственные значения.

Пусть в линейном пространстве задан линейный оператор .

Определение 5.8. Ненулевой вектор (), удовлетворяющий условию (операторному равенству)

, , (5.3)

называется собственным вектором оператора . Число при этом называется собственным значением (собственным числом) оператора , соответствующим собственному вектору .

Определение 5.9. Множество всех собственных значений оператора называется спектром линейного оператора.

Выберем в пространстве некоторый базис , и пусть оператору в этом базисе соответствует матрица . Тогда операторное равенство (5.3) можно переписать в матричном виде

, ,

или в виде системы уравнений

(5.4)

Так как нас интересуют нетривиальные решения системы (5.4) (поскольку собственный вектор по определению должен быть ненулевым), то основная матрица системы (5.4) должна быть вырожденной, то есть

.

Определение 5.10. Уравнение

(5.5)

называется характеристическим уравнением линейного оператора .

Разложив определитель в уравнении (5.5), получим многочлен

(5.6)

-ой степени относительно . Многочлен (5.6) называется характеристическим многочленом оператора , его корни – характеристическими корнями многочлена (5.6).

Теорема 5.11. Характеристическое уравнение (5.5) оператора не зависит от выбора базиса.

□ Теорема утверждает, что если в пространстве выбраны два различных базиса, то характеристическое уравнение оператора будет иметь один и тот же вид. Пусть оператору в базисах и соответствуют матрицы . Тогда, если матрица перехода от базиса к базису , то

.

Итак, имеем

что и означает, что характеристическое уравнение оператора не зависит от выбора базиса. ■

Согласно теореме 5.11, характеристический многочлен (5.6) и его корни не зависят от выбора базиса, а значит, определение 5.10 введено корректно. При этом характеристическое уравнение и характеристический многочлен являются инвариантами линейного оператора относительно выбора базиса (они являются характеристиками самого оператора, а не его матрицы в конкретном базисе).

Каждому собственному значению линейного оператора соответствуют свои собственные векторы, причем таких векторов бесконечно много. То есть, если есть собственный вектор линейного оператора , то вектор , где , также есть собственный вектор оператора :

.

Теорема 5.12. Для того чтобы число являлось собственным значением линейного оператора , необходимо и достаточно, чтобы оно было корнем характеристического уравнения (5.5) этого оператора.

Определение 5.11. Алгебраической кратностью собственного значения линейного оператора называется кратность корня характеристического уравнения (5.5) (кратность корня характеристического многочлена ). Кратностью корня называется натуральное число такое, что

, , …, , .

Определение 5.12. Спектр линейного оператора называется простым, если алгебраическая кратность каждого собственного значения равна единице. Спектр линейного оператора называется сложным, если среди собственных значений оператора имеется хотя бы одно, алгебраическая кратность которого больше единицы.







Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 466. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Кишечный шов (Ламбера, Альберта, Шмидена, Матешука) Кишечный шов– это способ соединения кишечной стенки. В основе кишечного шва лежит принцип футлярного строения кишечной стенки...

Принципы резекции желудка по типу Бильрот 1, Бильрот 2; операция Гофмейстера-Финстерера. Гастрэктомия Резекция желудка – удаление части желудка: а) дистальная – удаляют 2/3 желудка б) проксимальная – удаляют 95% желудка. Показания...

Ваготомия. Дренирующие операции Ваготомия – денервация зон желудка, секретирующих соляную кислоту, путем пересечения блуждающих нервов или их ветвей...

Кран машиниста усл. № 394 – назначение и устройство Кран машиниста условный номер 394 предназначен для управления тормозами поезда...

Приложение Г: Особенности заполнение справки формы ву-45   После выполнения полного опробования тормозов, а так же после сокращенного, если предварительно на станции было произведено полное опробование тормозов состава от стационарной установки с автоматической регистрацией параметров или без...

Измерение следующих дефектов: ползун, выщербина, неравномерный прокат, равномерный прокат, кольцевая выработка, откол обода колеса, тонкий гребень, протёртость средней части оси Величину проката определяют с помощью вертикального движка 2 сухаря 3 шаблона 1 по кругу катания...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.014 сек.) русская версия | украинская версия