Условия применения факторного анализа. Практическое выполнение факторного анализа начинается с проверки его условий

Практическое выполнение факторного анализа начинается с проверки его условий. В обязательные условия факторного анализа входят:

· Все признаки должны быть количественными.

· Число наблюдений должно быть в два раза больше числа переменных.

· Выборка должна быть однородна.

· Исходные переменные должны быть распределены симметрично.

Факторный анализ осуществляется по коррелирующим переменным

Главными целями факторного анализа являются сокращение числа перемен­ных (редукция данных) и определение структуры взаимосвязей между перемен­ными, т.е. классификация переменных. Поэтому факторный анализ использу­ется или как метод сокращения данных, или как метод классификации переменных.

Сокращение достигается путем выделения скрытых общих факторов, объяс­няющих связи между наблюдаемыми признаками (переменными) объекта, т.е. вместо исходного набора переменных появится возможность анализировать дан­ные по выделенным факторам, число которых значительно меньше исходного числа взаимосвязанных переменных.

Взаимосвязи между переменными можно обнаружить с помощью диаграммы рассеяния. Полученная путем подгонки линия регрессии дает графическое пред­ставление зависимости. Если определить новую переменную на основе линии регрессии, изображенной на этой диаграмме, то такая переменная будет включать наиболее существенные черты обеих переменных. Итак, произошло сокращение числа переменных — две заменили одной. Причем новый фактор (переменная) яв­ляется линейной комбинацией двух исходных. Приведенный пример, в котором две коррелированные переменные объединены в один фактор, показывает глав­ную идею факторного анализа.

В основном процедура выделения факторов подобна вращению, максимизирующему дисперсию исходного пространства переменных. Например, на диа­грамме рассеяния можно рассматривать линию регрессии как ось X, повернув ее так, что она совпадает с прямой регрессии. Этот тип вращения называется враще­нием, максимизирующим дисперсию (варимакс), так как цель вращения заклю­чается в максимизации изменчивости новой переменной (фактора) и минимиза­ции разброса исходных переменных. Если пример с двумя переменными распространить на большее число переменных, то вычисления становятся слож­нее, однако основной принцип представления двух или более зависимых пере­менных одним фактором остается в силе.

Число наблюдаемых объектов может быть большим и взаимосвязи между ними чрезвычайно сложными. Однако наблюдая объект, выдвигаем гипотезу, что существует небольшое число факторов, которые влияют на измеряемые парамет­ры. Естественно желание выделить как можно меньшее число скрытых общих факторов и чтобы выделенные факторы как можно точнее приближали наблю­даемые параметры, описывали связи между ними.

Выделяемые таким образом факторы называют общими, так как они воздейст­вуют на все признаки (параметры) объекта, а не на какой-то один признак или группу признаков. Эти факторы являются гипотетическими, скрытыми, их нель­зя измерить непосредственно, однако существуют статистические методы их вы­деления.

Рассмотрим модель факторного анализа. Пусть задана система перемен­ных Х₁, Х₂,..,Х_п. Например, X, — производительность труда, Х₃ — фондоотдача Х_п — себестоимость. Значения переменных или признаков Х_р Х₂,Х_п известны для каждого из N предприятий (объектов). Представим исходную информацию в виде матрицы.X = х_ji размерности (n х N). Каждая строка состоит из значений одного показателя для каждого из N объектов исследования. Предполагается, что каждый элемент этой матрицы х_ji является результатом воздействия некоторого числа m гипотетических общих факторов и одного характерного фактора

 

(1)

где a_jr — весовой коэффициент j-й переменной на r-м общем факторе или нагрузка j-й переменной на r-м общем факторе; f_ri — значение r-го общего фактора на i-м объекте исследования; d_, — нагрузка или весовой коэффициент j-й переменной на j-м характерном факторе; U_ji— значение j-го характерного фактора на i-м объекте исследования; j= 1,…,п; i = 1,..., N;r= 1,... т; т << п.

Так как массив данных X = представляет величины различной размерности, то для того чтобы перейти к безразмерным величинам, пронормируем элементы массива.

 

(2)

где X_j — выборочное среднеей переменной (признака); S_, — выборочная дис­персия j-й переменной. После этих преобразований получим

 

(3)

 

где a_jm — неизвестные коэффициенты, называемые факторными нагрузками; v. называется остатком (невязкой), или остаточным специфическим фактором. За­дача состоит в том, чтобы оценить а_)т некоторым оптимальным образом.

Обычно в моделях факторного анализа предполагаются выполненными сле­дующие предположения:

• Х_ji имеют многомерное нормальное распределение;

• общие факторы f _1i являются либо некоррелированными случайными вели­чинами с дисперсией 1, либо неизвестными случайными параметрами;

• остатки (остаточные факторы) U_1i имеют нормальное распределение, не коррелированны между собой и не зависят от общих факторов.

Если в качестве критерия оптимальности используют минимум расхождения между ковариационной матрицей исходных признаков и той, которая получается после оценивания факторных нагрузок (мера «расхождения» двух матриц, в дан­ном случае есть просто евклидова норма их разности), то приходят к методу глав­ных компонент.

Если критерием оптимальности является максимальная близость исходных корреляций признаков к тем, которые получены в модели после оценивания на­грузок, то говорят о методах анализа главных факторов.

Правая часть выражения (3) линейна и напоминает выражение для регрес­сионного анализа. Однако здесь есть большая разница. В регрессионном анализе система переменных предполагается измеряемой непосредственно (например, взяты из отчетной документации предприятий). Однако в факторном анализе об­щие и характерные факторы являются гипотетическими (неизвестными). Их нужно оценить методами математической статистики и линейной алгебры.