Центроидный метод

Одним из способов реализации общей итерационной схемы при идентифицирующем условии 2) является центроидный метод. Оценки, получаемые этим методом, близки к оценкам максимального правдоподобия, и являются более «устойчивыми» по отношению к отклонениям от нормальности распределения наблюдений вектора Х; однако исследование их статистических свойств затруднено из-за использования в процедуре метода эвристических неформализуемых соображений. Метод менее трудоемок по сравнению с методом максимального правдоподобия и геометрически интерпретируем:

· исходные случайные величины X ₁, X ₂, …, X_k отождествляют с радиус-векторами X ₁, X ₂, …, X _kk -мерного пространства, построенными так, чтобы , а ;

· изменяя знаки отдельных векторов, добиваются, чтобы как можно больше корреляций были положительными (как можно больше векторов образовывали однонаправленный пучок);

· определяют вектор F ₁ (общий фактор F ₁ — первый центроид) как нормированную сумму векторов пучка и нагрузки ;

· затем подсчитывают корреляционную матрицу остаточных переменных , где a ₁ = (a ₁₁, a ₂₁, …, a_{k 1})^T, и относительно и проделывают аналогичную процедуру, выделяя F ₂— второй центроид и т. д.

Для центроидного метода описанная выше общая итерационная схема факторного анализа конкретизируется (в терминах выборки) следующим образом:

· задаются нулевым приближением дисперсий (обычно ), или иначе задаются нулевым приближением ковариационной матрицы специфических факторов;

· подсчитывают ;

· определяют нулевое приближение первого столбца матрицы : , где — нулевое приближение первого столбца b ₁ вспомогательной матрицы В; затем вычисляют и определяют нулевое приближение второго столбца матрицы : , где вектор состоит из чисел «+1» и «‑1», а знаки подбираются так, чтобы знаменатель в последней дроби был максимальным. Так продолжают до получения m столбцов матрицы ;

· получают диагональную матрицу , элементы которой вычисляются как и переходят к следующей итерации.

Замечание. Из изложенного алгоритма видно, что столбец b ₁ матрицы B задает веса, с которыми суммируются вектора одного пучка для получения общего вектора F ₁. поскольку все веса по модулю равны единице, то определение очередного центроида состоит в простом суммировании векторов пучка; знаки же единиц определяют нужное направление каждого из векторов пучка. Вообще говоря, знаки устанавливаются на основе анализа знаков элементов остаточных матриц ; в данном алгоритме предлагается при подборе знаков ориентироваться на максимизацию произведения , что позволяет быстрее выделить m общих факторов, объясняющих возможно большую часть общей дисперсии исходных величин.

Недостатком центроидного метода является зависимость получаемых им значений нагрузок от шкалы измерения исходных величин, поэтому их обычно нормируют.