Метод максимального правдоподобия

Реализация описанной общей итерационной схемы для первого варианта идентифицирующего требования к виду матрицы А приводит к оценкам максимального правдоподобия параметров a_ij и v_i — оценкам, получаемым методом максимального правдоподобия для модели (16) при постулировании нормальности распределения наблюдений вектора Х с учетом указанного требования. При достаточно общих ограничениях оценки максимального правдоподобия и асимптотически нормальны, несмещены и эффективны.

Можно доказать, что при максимизации логарифмической функции правдоподобия с учетом требования 1) диагональными элементами матрицы будут первые m наибольших собственных значений матрицы , а соответствующие собственные векторы будут столбцами матрицы . Поэтому итерационная схема нахождения оценок и при заданном m примет следующий вид:

· задаются нулевыми приближениями дисперсий специфических факторов, или иначе задаются нулевым приближением матрицы ;

· получают нулевое приближение матрицы φ;;

· находят — наибольшее собственное значение матрицы φ;⁽⁰⁾ и соответствующий ему собственный вектор — это столбец матрицы ; в φ;⁽⁰⁾ матрицу заменяют на и для новой матрицы φ;⁽⁰⁾ находят наибольшее собственное значение и соответствующий ему собственный вектор — это будет столбец матрицы , и далее до получения m столбцов матрицы ;

· получают первое приближение дисперсии , иначе? первое приближение матрицы и переходят к следующей итерации.

1.1.2 Факторный анализ показателей…

Используя процедуру метода максимального правдоподобия, проведем факторный анализ шести экономических показателей (см. стр.), при этом примем m = 2, , где и — нагрузки показателя Х_i на первые две компоненты. Результаты одной итерации приведены в табл. 2.3.1.

Таблица 2.3.1

	0,4112	0,3728	0,3903	0,5296	0,5875	0,4328
	4,1433
	0,6952	0,6267	0,3835	0,1928	0,4604	0,5379
	2,4759
	0,0170	–0,4266	0,5779	0,5065	0,1759	–0,3220
	0,5164	0,4252	0,5189	0,7063	0,7571	0,6070

Окончательные оценки нагрузок и дисперсий специфических факторов указаны в табл. 2.3.2:

Таблица 2.3.2

Показатель	Оценки нагрузок на факторы
F1	F2
	X1	0,6627	–0,0519	0,4419	0,5581
	X2	0,5895	–0,3634	0,4796	0,5204
	X3	0,3967	0,5950	0,5114	0,4886
	X4	0,1749	0,2642	0,1004	0,8996
	X5	0,4463	0,1808	0,2319	0,7681
	X6	0,4618	–0,2575	0,2796	0,7204
	Оценка доли вклада Fj в общую дисперсию, %	23,12	10,96

Допустимо ли представление исходного вектора Х с помощью модели (16) факторного анализа с числом общих факторов, равным m (в примере m = 2). Гипотеза о том, что число общих факторов равно m отвергается (с вероятностью ошибки, равной a), если

, (2.3.5)

где число степеней свободы q =.

В примере вместо ковариационной матрицы использовалась корреляционная матрица . Учитывая это, в неравенстве (19): n = 153, , , , c² = 4,95, k = 6, m = 2, .

Так как 4,95 < 9,49, то гипотезу о наличии двух общих факторов не отвергаем при a = 0,05.