Поле рациональных дробей

1^о. Эвристические соображения.

В анализе изучаются дробно-рациональные функции вида , где − многочлены. Мы их будем рассматривать как формальные выражения. При этом используем обычные операции:

, где ; ;

.

В этом случае две дроби определяют одну и ту же рациональную функцию.

2^о. Точные определения.

Пусть – поле, – кольцо многочленов над .

Определение 1. паре многочленов , где поставим в соответствие символ , называемый рациональной дробью с числителем и знаменателем .

Замечание. Здесь используется термин «символ», т.к. мы не делим многочлены, хотя и иногда их можно разделить без остатка.

Определение 2. Рациональные дроби и называются равными, если в кольце имеется равенство

.

(1)

 

Свойства рациональных дробей.

1. дробь равна самой себе.

2. Свойство транзитивности: если и .

Действительно, , . Далее после деления на получим доказываемое равенство, т.к. – кольцо без делителей нуля.

Объединим все равные между собой дроби в один класс. Тогда множество всех рациональных дробей разбивается на непересекающиеся классы равных между собой дробей. На множестве этих классов мы хотим определить операции так, чтобы оно было полем. Для этого надо проверять, что замена представителя класса другим не изменяет результат с точки зрения принадлежности классу.

Лемма 1. Рациональная дробь превращается в равную дробь, если её знаменатель и числитель умножаются или сокращаются на один и тот же многочлен, отличенный от нуля.

Доказательство. Действительно, так как из и можно разделитьна , то получаем, что операция не выводит из класса.■

Сложение рациональных дробей определим как

\

(2)

 

Далее, если

, | умножая первое на , а второе на и складывая |

Т.о. если складывать дробь одного класса с дробью другого класса, то результаты всегда лежат в одном и том же третьем классе. Этот класс называется суммой классов.

Коммутативность из (2), а ассоциативность доказывается прямыми вычислениями.

Дроби вида равны между собой и образуют нулевой класс. Это нуль относительно сложения. Действительно, . Из равенства противоположного класса.

Умножение определим формулой

(3)

 

Пусть , можно говорить о произведении классов равных между собой дробей.

Коммутативность и ассоциативность из (3), а дистрибутивность доказывается прямыми вычислениями.

Элементы вида обозначают единицу.

Если нулевому классу, т.е. определён класс - обратный класс к . Т.о. классы равных между собой рациональных дробей с коэффициентами из P образуют поле, обозначаемое P(x) – поле рациональных дробей.

Многочлены – подмножество − кольцо.

Замечание. Аналогично над кольцом Z.

Определение 3. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя.

Замечание. Дроби вида являются правильными.

Лемма 2. Всякая рациональная дробь представима, притом единственным способом, в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Доказательство. Пусть дана рациональная дробь . Разделим на :

, где . Если наряду с полученным равенством имеет место . Слева – многочлен, справа – правильная дробь , что и требовалось доказать. ■

 

Напоминание. Над неприводимые многочлены имеют вид: , и , т.е. Над , неприводимые многочлены .

 

Определение 4. Правильная рациональная дробь называется простейшей, если её знаменатель является степенью неприводимого многочлена , т.е. , и .

 

Теорема 1. Всякая правильная дробь разлагается в сумму простейших.

Доказательство. Вначале рассмотрим правильную рациональную дробь , где − взаимно простые, т.е. . Тогда найдутся многочлены такие, что . Отсюда .

Пусть, деля на , получим остаток такой, что (4), где − многочлен. Так как и . Из (4) следует, что , где справа стоит сумма правильных дробей.

Если хотя бы один из знаменателей разлагается в произведение взаимно простых множителей, то можно выполнить дальнейшее разложение. Продолжая далее, получаем, что всякая правильная дробь разлагается в сумму нескольких простейших дробей, каждая из которых имеет знаменателем степень некоторого неприводимого многочлена. А именно, если для имеем, что , где , если , то

, где справа стоят правильные дроби.

Осталось рассмотреть , где это правильная дробь, p(x) – неприводимый многочлен. Применим алгоритм деления с остатком и разделим на , остаток разделим на , и т.д. Имеем:

Так как степень меньше чем у , а степень каждого из остатков меньше , то степень всех частных меньше, чем степень . Степень последнего остатка меньше, чем откуда следует, что получаем:

, т.е. получено искомое представление. ■

Следствие. Всякая правильная рациональная дробь обладает единственным разложением в сумму простейших дробей.

Доказательство. Пусть это неверно. Тогда вычитая из одного разложения другое, получаем поле приведения подобных в сумму простейших дробей, тождественно равную нулю. Пусть простейшие дроби содержат неприводимые многочлены , причём максимальная степень каждого соответственно. Умножим всю сумму на . Тогда все слагаемые, кроме одного – многочлены и осталось . Так как - неприводим, то числитель не делится на знаменатель, а все множители с ним взаимно просты противоречие, т.к. нуль представлен в виде суммы многочлена и правильной дроби. ■

 

Пример.

Представить в виде суммы простейших дробей, где:

 

Решение.

Здесь и