Основных элементарных функций

Таблица 1

№ п/п	Вид разложения функции в ряд Маклорена	Область сходимости
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
12.

 

Пример 1. Разложить в степенной ряд по степеням функцию .

Решение. Находим сначала производные заданной функции, затем вычисляем значения функции и ее производных при . Имеем ,

Ряд Маклорена, для функции , будет иметь вид . Он сходится абсолютно для всех значений (по признаку Даламбера ).

Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа при будет иметь вид . Ряд – сходящийся, а потому, в силу необходимого признака сходимости, общий член ряда стремится к нулю, т.е. , следовательно, и . Таким образом, для любого справедливо разложение .

Пример 2. Разложить в степенной ряд по степеням функцию .

Решение. Находим сначала производные заданной функции, затем вычисляем значения функции и ее производных при . Имеем

Методом математической индукции можно показать, что и т.д. (числа 0, 1, 0, –1 будут периодически повторяться).

Ряд Маклорена, соответствующий функции , будет иметь вид

.

Он сходится абсолютно для всех значений , так как по признаку Даламбера .

Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа будет иметь вид

.

Следовательно, при для всякого .

Окончательно, согласно теореме о разложении функции в ряд Тейлора, для любого справедливо разложение

, .

Продифференцировав этот ряд, можно получить разложение в степенной ряд по степеням функции . Это разложение будет иметь вид , .

Пример 3. Разложить в степенной ряд по степеням функцию .

Решение. Интегрируя почленно от 0 до равномерно сходящийся ряд получаем ряд Маклорена: , .

Его называют логарифмическим рядом. Этот ряд сходится абсолютно при . можно показать, что при логарифмический ряд сходится условно, а при ряд расходится. При этом, при , т.е. имеет место разложение .

Если в этом разложении заменить на , то получим разложение функции при : . Вычитая один ряд из другого (первый из второго) и принимая во внимание , находим разложение в степенной ряд функции при : .

Пример 4. Используя разложение в ряд функции , разложить в ряд по степеням х функцию .

Решение. Обозначим: , тогда

.

Пример 5. Разложить функцию в ряд по степеням х.

Решение. Используем разложение в ряд функции , , где .

Приближенное вычисление значений функций. Возможность разложения функции в степенной ряд позволяет существенно упростить многие математические операции: вычисление приближенных значений данной функции, дифференцирование, интегрирование.

При приближенном вычислении значения функции сумму ряда заменяют на его частичной суммой: , а остальные члены отбрасывают. Для оценки погрешности найденного приближенного значения нужно оценить сумму отброшенных членов.

В случае знакочередующегося ряда, члены которого удовлетворяют признаку Лейбница, остаток оценивается по своему первому члену , где - первый из отброшенных членов ряда. Если ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Пример 5. Вычислить приближенное значение с точностью до 0,001.

Решение. Переведем градусы в радианы и воспользуемся разложением синуса в степенной ряд

.

В силу признака Лейбница погрешность не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов 0,000003.

Пример 6. Вычислить приближенное значение корня с точностью до 0,001.

Решение. Преобразуем подкоренное выражение и воспользуемся биномиальным рядом № 8 табл. 8.1.

.

Пример 7. Вычислить приближенное значение корня с точностью до 0,00001.

Решение: Используя разложение в ряд получаем

.

Погрешность этого приближенного равенства определяется суммой членов, следующих после в разложении :

Заменив, каждый из сомножителей n+2, n+3,….меньшей величиной n+1, получаем:

. Получаем бесконечно убавющую геометрическую прогрессию в квадратных скобках:

Значит для нашего случая

Путем подбора определим, при каком значении n будет выполняться неравенство . При n=3 получаем , при n=5: , при n=6: , Итак n=6.

Применение степенных рядов в приближенных вычислениях определенных интегралов. Пусть требуется вычислить определенный интеграл , который или не берется в конечном виде или представляет значительные технические трудности в процессе интегрирования. Разложив в ряд Маклорена, пользуясь готовыми разложениями функции (табл.1), и почленно проинтегрировав его (при условии, что содержится в интервале сходимости), получим . Полученный ряд можно использовать для вычисления значений при любых значениях х, с любой заданной степенью точности.

Пример 7. Вычисление интегрального синуса: .

Решение. Положив при и приняв во внимание

Находим .

Полученный ряд можно использовать для вычисления значений при любых значениях , с любой заданной степенью точности. Так, с точностью до 0,01:

Применение степенных рядов к вычислению пределов. Пределы дробей, числители и знаменатели которых стремятся к нулю, можно вычислить с помощью степенных рядов. При этом числитель и знаменатель дроби раскладываются в степенные ряды по степеням одной и той же разности , тем самым выделяются главные части. После этого производятся необходимые сокращения, вследствие чего неопределенность обычно исчезает.

Пример 8. Вычислить .

Решение. Используя разложения функций в степенные ряды из табл. 8.1, находим

.

Произведя сокращение на и выполнив переход к пределу почленно в числителе и знаменателе, окончательно получим .