Метод LU-разложения
Цель работы: · Знакомство с алгоритмом LU-разложения матрицы коэффициентов; · Применение метода LU-разложения к решению систем линейных уравнений; · Использование возможностей системы MATHCAD для выполнения LU-разложения. Постановка задачи: Найти решение системы линейных уравнений
Описание метода: Метод LU-разложения является одной из разновидностей метода Гаусса и заключается в представлении матрицы коэффициентов A в виде
Доказано, что если главные миноры матрицы A отличны от нуля, то разложение всегда возможно и единственно. При наличии LU-разложения решение системы
Из первого уравнения находим
Затем составляется система Из последнего уравнения этой системы найдем
Для построения LU-разложения матрицы A создаются последовательно матрицы
и вычисляются матрицы
Последняя матрица Основное преимущество метода LU-разложение заключается в том, что столбец свободных членов при решении системы линейных алгебраических уравнений используется только на заключительном этапе, а наиболее трудоемкие операции по вычислению матриц L и U не требует знания вектора свободных членов b. Таким образом, если решается серия СЛАУ с одной и той же матрицей коэффициентов A, но разными правыми частями b, то очень выгодно один раз вычислить LU-разложение матрицы A, а уже за тем решать конкретные системы, меняя столбец свободных членов. Если матрица A СЛАУ содержит много нулей, то использование LU-разложения может существенно сократить объем вычислений. Можно проверить, что если какая-то строка матрицы A до первого ненулевого элемента содержит m нулей, то та же строка в матрице L будет содержать в начале m нулей. Если какой-то столбец в матрице A содержит до первого ненулевого элемента p нулей, то в матрице U этот столбец в своем начале будет иметь p нулей. Но наряду с достоинствами метод LU-разложения имеет и недостатки. Алгоритм LU-разложения может остановиться даже при невырожденной матрице A из-за деления на нуль при
Ход лабораторной работы: 1. Ввести матрицу коэффициентов A (n × n) и столбец свободных членов b (см. задания для самостоятельной работы). 2. Последовательно создать матрицы 3. Нашли 4. Найти матрицу
Легко проверяется, что 5. Найти решение системы 6. Найти решение системы 7. Выполнить проверку. 1) Для проверки разложения: Вычислить произведение матриц LU, сравнить с исходной матрицей A. 2) Для проверки решения: Посмотреть выполняется ли равенство
Пример: Найти решение системы линейных уравнений Получим LU-разложение матрицы коэффициентов.
Требования к отчету: 1. Отчет должен быть представлен в электронном виде; 2. Отчет должен содержать: · Расчеты и проверку. · Ответы на вопросы: · Какова точность найденного решения; · Преимущество метода LU-разложения по сравнению с правилом Крамера и использованием обратной матрицы; · В чем заключается различие между методом Гауса и LU-разложением? · Недостатки метода.
Задания для самостоятельной работы: 1 вариант: 2 вариант: 3 вариант: 4 вариант: 5 вариант: 6 вариант: 7 вариант: 8 вариант: 9 вариант: 10 вариант: 11 вариант: 12 вариант: 13 вариант: 14 вариант: 15 вариант:
|