Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

ОБРАЗ И ЯДРО ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА




 

Определение 1. Образом линейного оператора А называется множество всех элементов , представимых в виде , где .

Образ линейного оператора А является линейным подпространством пространства . Его размерность называется рангом оператора А.

Определение 2.Ядром линейного оператора А называется множество всех векторов , для которых .

Ядро является линейным подпространством пространства Х. Его размерность называется дефектом оператора А.

Если оператор А действует в -мерном пространстве Х, то справедливо следующее соотношение + = .

Оператор А называется невырожденным, если его ядро . Ранг невырожденного оператора равен размерности пространства Х.

Пусть - матрица линейного преобразования А пространства Х в некотором базисе, тогда координаты образа и прообраза связаны соотношением

.

Поэтому координаты любого вектора удовлетворяют системе уравнений

.

Отсюда следует, что ядро линейного оператора является линейной оболочкой фундаментальной системы решений данной системы.

 

 

Задачи

1. Доказать, что ранг оператора равен рангу его матрицы в произвольном базисе.

Вычислить ядра линейных операторов, заданных в некотором базисе пространства Х следующими матрицами:

2. 3.

4.

 

5. Доказать, что .

Вычислить ранг и дефект операторов, заданных следующими матрицами:

6. . 7. . 8. .

 

3. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА

 

Рассмотрим линейный оператор А, действующий в - мерном пространстве Х.

Определение. Число l называется собственным значением оператора А, если , такой, что . При этом вектор называется собственным вектором оператора А.

Важнейшим свойством собственных векторов линейного оператора является то, что собственные векторы, соответствующие попарно различным собственным значениям линейно независимы.

Если - матрица линейного оператора А в базисе пространства Х, то собственные значения l и собственные векторы оператора А определяются следующим образом:

1. Собственные значения находят как корни характеристического уравнения (алгебраического уравнения -ой степени):

.

2. Координаты всех линейно независимых собственных векторов , соответствующих каждому отдельному собственному значению , получают, решая систему однородных линейных уравнений:

матрица которой имеет ранг . Фундаментальные решения этой системы являются вектор – столбцами из координат собственных векторов.

Корни характеристического уравнения называют также собственными значениями матрицы , а решения системы - собственными векторами матрицы .

Пример.Найти собственныевекторы и собственные значения оператора А, заданного в некотором базисе матрицей

1. Для определения собственных значений составляем и решаем характеристическое уравнение :

.

Отсюда собственное значение , его кратность .

2. Для определения собственных векторов составляем и решаем систему уравнений :

Эквивалентная система базисных уравнений имеет вид

Поэтому всякий собственный вектор представляет собой вектор-столбец , где с – произвольная константа.

 

3.1.Оператор простой структуры.

Определение. Линейный оператор А, действующий в n – мерном пространстве называется оператором простой структуры, если ему соответствует ровно n линейно независимых собственных векторов. В этом случае можно построить базис пространства из собственных векторов оператора, в котором матрица оператора имеет наиболее простой диагональный вид

,

где - собственные значения оператора. Очевидно, что верно и обратное: если в некотором базисе пространства Х матрица оператора имеет диагональный вид, то базис состоит из собственных векторов оператора.

Линейный оператор А является оператором простой структуры тогда и только тогда, когда каждому собственному значению кратности соответствует ровно линейно независимых собственных векторов. Так как собственные векторы есть решения системы уравнений то, следовательно, каждому корню характеристического уравнения кратности , должна соответствовать матрица ранга .

Всякая матрица размера , соответствующая оператору простой структуры, подобна диагональной матрице

,

где матрица перехода Т от исходного базиса к базису из собственных векторов имеет своими столбцами вектор-столбцы из координат собственных векторов матрицы (оператора А).

Пример.Привести матрицу линейного оператора к диагональному виду

.

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни.

Откуда собственные значения кратности и кратности .

Первое собственное значение . Ему соответствуют собственные векторы, координаты которых являются

 

решением системы

Ранг данной системы равен 3, поэтому имеется только одно независимое решение, например, вектор .

Собственные векторы, соответствующие , определяются системой уравнений

ранг которой равен 1 и, следовательно, существует три линейно независимых решения, например,

, , .

Таким образом, каждому собственному значению кратности соответствует ровно линейно независимых собственных векторов и, следовательно, оператор является оператором простой структуры. Матрица перехода Т имеет вид

и связь между подобными матрицами и определяется соотношением

= .

 

Задачи

Найти собственные векторы и собственные значения

линейных операторов, заданных в некотором базисе матрицами:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

Определить какие из следующих линейных операторов можно привести к диагональному виду путем перехода к новому базису. Найти этот базис и соответствующую ему матрицу:

7. 8. 9.

10. Доказать, что собственные векторы линейного оператора, соответствующие различным собственным значениям линейно независимы.

11. Доказать, что если линейный оператор А, действующий в , имеет n различных значений, то любой линейный оператор В перестановочный с А, обладает базисом собственных векторов, причем любой собственный вектор А будет собственным и для В.

 

ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА

Определение 1.. Подпространство L линейного пространства X называется инвариантным относительно оператора А, действующего в X, если для каждого вектора его образ также принадлежит .

Основные свойства инвариантных подпространств определяются следующими соотношениями:

1. Если и являются инвариантными подпространствами относительно оператора А, то их сумма и пересечение также инвариантны относительно оператора А.

2. Если пространство Х разлагается в прямую сумму подпространств и ( ) и инвариантно относительно А, то матрица оператора в базисе, который является объединением базисов и есть блочная матрица

,

где - квадратные матрицы, 0 – нулевая матрица.

3. Во всяком инвариантном относительно оператора А подпространстве оператор имеет хотя бы один собственный вектор.

Пример 1.Рассмотрим ядро некоторого оператора А, действующего в Х. По определению . Пусть . Тогда , так как нулевой вектор содержится во всяком линейном подпространстве. Следовательно, ядро - инвариантное относительно А подпространство.

Пример 2.Пусть в некотором базисе пространства Х оператор А задается матрицей

.

Определить все подпространства трехмерного пространства, инвариантные относительно А.

Проще всего задача решается в базисе, составленном из собственных векторов оператора, если такой базис существует. Поэтому найдем вначале собственные векторы А.

Составим и решим характеристическое уравнение

 

.

Откуда собственные значения кратности и кратности . Первое собственное значение простое. Соответствующий ему собственный вектор определяется системой уравнений

решая которую получим, например, .

Собственные векторы для определяются уравнением

,

имеющим два линейно независимых решения, например, и . Таким образом, в нашем случае существует базис из собственных векторов.

Пусть теперь . Тогда вектор . Воспользовавшись теперь определением инвариантного подпространства, получим, что инвариантными будут следующие подпространства:

1. Прямая с базисным вектором .

2. Прямые с базисными векторами и .

3. Линейная оболочка векторов , т.е. плоскость, задаваемая уравнением .

4. Линейные оболочки векторов и .

5. Все трехмерное пространство и нулевое пространство.

 

Задачи

1. Линейный оператор А задается в базисе

матрицей

.

Показать, что линейная оболочка векторов и является подпространством инвариантным относительно оператора А.

2. Доказать, что линейная оболочка любой системы собственных векторов оператора А является инвариантным подпространством.

3. Найти все подпространства трехмерного пространства, инвариантные относительно оператора, заданного в некотором базисе матрицей

.

4. Найти все подпространства трехмерного пространства, инвариантные относительно двух линейных операторов, заданных матрицами

.

5. Доказать, что любое подпространство , инвариантное относительно невырожденного оператора А, будет инвариантно и относительно обратного оператора .

6. Пусть линейное преобразование А -мерного пространства в базисе имеет диагональную матрицу с различными элементами на диагонали. Найти все подпространства, инвариантные относительно А, и определить их число.

 







Дата добавления: 2015-08-12; просмотров: 818. Нарушение авторских прав

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2018 год . (0.007 сек.) русская версия | украинская версия