КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА ЖОРДАНА

 

Определение 1. -мерной жордановой клеткой, соответствующей числу l называется треугольная матрица вида

.

Определение 2. Говорят, что матрица линейного оператора действующего в - мерном пространстве имеет нормальную жорданову форму, если вдоль ее главной диагонали расположены жордановы клетки, а остальные элементы нули

,

где , а - собственные значения оператора. Не исключена возможность, что в матрице для некоторых номеров или .

Базис пространства Х, в котором матрица оператора А имеет нормальную жорданову форму, называется каноническим.

В - мерном комплексном пространстве для каждого линейного оператора А существует базис, в котором матрица имеет нормальную жорданову форму. При переходе к другому каноническому базису матрица оператора сохраняется с точностью до перестановки клеток. Нормальная жорданова форма является простейшей формой, к которой может быть приведена матрица произвольного оператора.

Построение нормальной жордановой формы состоит из следующих этапов:

1. Составляется и решается характеристическое уравнение , определяются собственные значения оператора и их кратности .

2. Для каждого собственного значения подсчитывается число соответствующих ему жордановых клеток различной размерности по формуле:

где - ранг матрицы . Простым собственным значениям соответствуют жордановы клетки единичной размерности.

3. После того, как число клеток разной размерности, соответствующих различным собственным значениям определено, записывается нормальная жорданова форма с точностью до перестановки клеток. Канонический базис при этом остается неопределенным.

Пример. Привестик нормальной жордановой форме матрицу оператора:

.

Для нахождения собственных значений оператора составим и решим характеристическое уравнение

.

Откуда собственное значение и его кратность .

Определим теперь число жордановых клеток разной размерности. В нашем случае возможны три ситуации:

1. Существует три одномерных клетки.

2. Существует одна одномерная клетка и одна двумерная клетка.

3. Существует одна трехмерная клетка.

Сосчитаем число одномерных клеток:

Поэтому количество одномерных клеток . Следовательно, возможен только третий вариант и нормальная жорданова форма матрицы оператора имеет вид

.

 

5.1. Задачи.

Привести к нормальной жордановой форме матрицы линейных операторов:

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

 

6. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВЫХ И УНИТАРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ.

 

6.1. Нормальный оператор.

Наличие ортонормированного базиса в унитарном пространстве и базиса из собственных векторов линейного оператора имеют принципиальное значение при выполнении различных исследований. Поэтому основной задачей при рассмотрении линейных операторов в унитарных пространствах является изучение того класса операторов, которые в унитарном пространстве имеют ортонормированный базис из собственных векторов.

Определение 1. Пусть - произвольное унитарное пространство и - операторы, действующие в . Оператор называется сопряженным к линейному оператору А, если

,

где - скалярное произведение вектора на вектор .

Для всякого линейного оператора А существует единственный линейный сопряженный оператор . Их матрицы в любом ортонормированном базисе пространства связаны соотношением

.

Определение 2. Линейный оператор А, действующий в , называется нормальным, если он перестановочен со своим сопряженным оператором, т. е.

.

Оказывается, что оператор А имеет ортонормированный базис из собственных векторов тогда и только тогда, когда он является нормальным. При этом ортонормированные системы собственных векторов операторов А и совпадают, а собственные значения, соответствующие одному и тому же собственному вектору, комплексно сопряжены.

Частными случаями нормальных операторов являются:

1. Унитарный оператор, для которого или . Оператор является унитарным тогда и только тогда, когда

.

Все собственные значения унитарного оператора по модулю равны 1. Всякая ортонормированная система векторов пространства переводится унитарным оператором в ортонормированную систему векторов. Матрица унитарного оператора удовлетворяет условию

.

Такие матрицы называются унитарными.

В случае вещественного евклидова пространства и матрица унитарного (ортонормированного) оператора удовлетворяет соотношению

.

Таким образом, столбцы данной матрицы ортонормированны. Например, ортонормированной матрицей второго порядка является следующая матрица

.

2. Самосопряженный оператор. Этот оператор совпадает со своим сопряженным, т. е.

.

Матрица самосопряженного оператора удовлетворяет условию

.

Такие матрицы называются эрмитовыми. Все собственные значения самосопряженного оператора вещественны.

В случае евклидова пространства самосопряженный оператор переходит в симметричный оператор, матрица которого является симметричной, т. е.

.

Определение 3. Самосопряженный оператор Н называется положительно (неотрицательно) определенным, если

.

Всякий самосопряженный оператор положительно определен тогда и только тогда, когда его собственные значения положительны. Для любого оператора А операторы и являются неотрицательно определенными.

 

6.2. Приведение матрицы нормального оператора к диагональному виду

Так как для всякого нормального оператора существует ортонормированный базис из собственных векторов, то матрица всякого нормального оператора может быть приведена к диагональному виду соотношением

.

Все отличие от общего случая состоит в том, что теперь матрица перехода С (матрица из координат собственных векторов) должна быть выбрана так, чтобы ее столбцы были ортонормированны, т. е. теперь С – унитарная матрица. Тогда общее соотношение перепишется в виде

Полезно помнить, что всякий матричный многочлен

от матрицы имеет те же собственные векторы, что и матрица , а соответствующие собственные значения равны

.

Например, матрица

.

Пример. Найти ортонормированный базис из собственных векторов и матрицу в этом базисе для линейного оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей

.

Матрица является симметричной, поэтому искомый базис заведомо существует. Для нахождения собственных значений составляем и решаем характеристическое уравнение

,

откуда собственные значения кратности и кратности . Поэтому диагональная матрица оператора в базисе из собственных векторов

 

.

Для нахождения базиса составляем и решаем системы уравнений . При имеем

Нормированное решение этой системы вектор

.

При имеем

.

Линейно независимые решения этого уравнения

.

Применяя к векторам процедуру ортогонализации Грама–Шмидта, получим еще два ортонормированных собственных вектора

.

Тогда матрица перехода С имеет вид

.

 

6.3. Полярное разложение оператора

Если А – произвольный линейный оператор, действующий в унитарном пространстве , то существует единственный неотрицательный самосопряженный оператор и унитарный оператор такие, что

.

Оператор определяется из условия , т. е. является арифметическим корнем из оператора . Оператор является единственным лишь тогда, когда оператор А невырожден. В этом случае . Для нормального оператора А операторы и перестановочны.

Пример. Построим полярное разложение оператора, который задан матрицей

.

Матрица сопряженного оператора имеет вид

и матрица оператора тогда равна

.

Для построения матрицы необходимо найти собственные векторы и собственные значения матрицы . Решим соответствующее характеристическое уравнение

.

Откуда собственные значения кратности и кратности .

Координаты первого собственного вектора, соответствующего , определятся системой

 

нормированное решение которой, например, вектор .

Координаты второго и третьего собственных векторов, соответствующих , определяются уравнением

,

имеющего два линейно независимых решения, например, векторы . Применяя к векторам процедуру ортогонализации Грама–Шмидта, получим еще два ортонормированных собственных вектора

.

Ортонормированная матрица перехода тогда равна

.

Матрицы и имеют одни и те же собственные векторы и собственные значения - корни из собственных значений . Поэтому

.

Далее, , т. е. - невырожденная матрица. Поэтому матрица . Учитывая, что собственные значения обратны собственным значениям , получим

,

.

Непосредственным умножением нетрудно убедиться теперь, что .

 

6.4. Задачи

1. Доказать, что сопряженные операторы обладают следующими свойствами:

2. Для линейных операторов, заданных следующими матрицами, найти матрицы сопряженных операторов:

.

3. Проверить, являются ли нормальными операторы, заданные в некотором трехмерном унитарном пространстве матрицами из задачи 2.

Найти ортонормированный базис из собственных векторов и матрицу в этом базисе для линейных операторов, заданных в некотором ортонормированном базисе матрицами:

4. . 5. . 6. .

7. .

 

Найти полярное разложение следующих матриц:

8. . 9. . 10. .

Найти собственные значения матричного многочлена , если матрица равна:

11. . 12. . 13. .

 

7. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

 

Определение 1. Числовая функция двух векторных аргументов , определенная на комплексном пространстве Х, называется билинейной формой, если при каждом фиксированном она линейна по , а при каждом фиксированном сопряженно - линейна по , т. е.

Если в пространстве Х задан базис и ,то значение билинейной формы равно

,

где - значение билинейной формы на паре базисных векторов. Матрица называется матрицей билинейной формы в заданном базисе Х. В матричных обозначениях

,

где .

Если два базиса пространства и

 

связаны формулами перехода

,

где - матрица перехода, то матрицы А и билинейной формы в этих базисах связаны соотношением

Ранг матрицы билинейной формы называется рангом билинейной формы. При переходе от базиса к базису ранг билинейной формы не меняется.

Билинейная форма , определенная на комплексном пространстве, называется эрмитовой, если .Эрмитовой форме соответствует эрмитова матрица А, для которой .

При билинейная форма переходит в квадратичную форму . В - мерном пространстве всякая квадратичная форма имеет вид

.

Квадратичная форма с эрмитовой матрицей принимает только действительные значения.

 

7.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Основная задача, связанная с квадратичными формами, состоит в приведении ее с помощью линейного невырожденного преобразования переменных (преобразования базиса) к максимально простому (каноническому) виду.

Определение 2. Каноническим видом эрмитовой квадратичной формы называется выражение вида

,

где - координаты вектора , а - вещественные канонические коэффициенты.

 

7.1.1. Метод Лагранжа

Метод Лагранжа позволяет привести к каноническому виду симметрическую вещественную квадратичную форму. Идея метода состоит в последовательном дополнении квадратного многочлена по каждой переменной до полного квадрата.

Пусть

.

Будем считать, что . Если это не так, то возможны два варианта:

1. Какой–нибудь из . Тогда перенумеровав базисные векторы (переобозначение переменных), получим требуемое условие.

2. Если все , и, например, , то сделаем следующее невырожденное преобразование

При этом и коэффициент при .

Выделим в выражении для слагаемые, содержащие :

.

Преобразуем слагаемые с :

.

Сделаем невырожденное преобразование переменных

,

 

.

Обозначим . Тогда для получим

.

Если теперь квадратичная форма

,

то приведена к каноническому виду. Если , то, проводя аналогичные преобразования координат , за конечное число шагов приведем квадратичную форму к каноническому виду.

Пример. Приведем к каноническому виду квадратичную форму

.

Здесь все , а коэффициент . Поэтому сделаем преобразование

Тогда

.

Выделим и преобразуем слагаемые с :

.

Сделаем замену переменных

Тогда

.

Преобразуем далее слагаемые с :

и сделаем замену переменных

Квадратичная форма принимает канонический вид

.

 

7.1.2. Метод Якоби

Метод Якоби позволяет найти канонические коэффициенты невырожденной эрмитовой квадратичной формы по ее коэффициентам в произвольном базисе, не строя сам канонический базис.

Обозначим через главный минор - го порядка матрицы квадратичной формы , т. е.

.

Если все главные миноры матрицы квадратичной формы отличны от нуля, то существует канонический базис, в котором данная форма имеет вид

,

где

.

 

Пример. Приведем к каноническому виду методом Якоби квадратичную форму

.

Матрица квадратичной формы

.

Главные миноры матрицы

.

Поэтому

,

где - координаты вектора в каноническом базисе.

 

7.1.3.Приведение квадратичной формы к каноническому виду в ортонормированном базисе

Пусть - эрмитова квадратичная форма, заданная в унитарном (евклидовом) пространстве. С помощью некоторого невырожденного линейного преобразования она может быть приведена к каноническому виду, причем выбор канонического базиса неоднозначен. Оказывается, что для эрмитовой квадратичной формы среди всех канонических базисов существует и ортонормированный базис.

Так как - матрица квадратичной формы является эрмитовой (самосопряженной), то она представима в виде

,

где - собственные значения, а - ортонормированная матрица собственных векторов матрицы А. Введем новые переменные (новые координаты вектора ) соотношениями

.

В новых переменных квадратичная форма

.

Таким образом, для приведения квадратичной формы к каноническому виду необходимо найти собственные значения матрицы А, которые и являются каноническими коэффициентами. Если нужна также связь между старыми и новыми координатами вектора , то нужно найти ортонормированную матрицу собственных векторов.

Пример. Найдем канонический вид в ортонормированном базисе квадратичной формы

.

Матрица квадратичной формы

.

Для определения канонических коэффициентов составим и решим характеристическое уравнение

.

Откуда , и канонический вид квадратичной формы

.

Найдем связь между старыми и новыми координатами вектора . Собственные векторы матрицы А при определяются уравнением

,

линейно независимые решения которого, например, векторы

 

.

Координаты третьего собственного вектора определяются системой

которая имеет решение . Применяя к полученным векторам процесс ортогонализации Грама - Шмидта, получим искомый ортонормированный базис

,

и связь между старыми и новыми координатами вектора

 

7.1.4. Задачи

Привести к каноническому виду методом Лагранжа следующие квадратичные формы:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Привести к каноническому виду методом Якоби, если это возможно, следующие квадратичные формы:

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Найти ортогональное преобразование, приводящее следующие квадратичные формы к каноническому виду и записать этот вид.

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

Найти канонический вид, к которому следующие квадратичные формы приводятся ортогональным преобразованием

17. . 18. .

 

7.2. Знакоопределенные квадратичные формы

Определение. Эрмитова квадратичная форма называется положительно (неотрицательно) определенной, если

.

Эрмитова квадратичная форма называется отрицательно (неположительно определенной), если

.

Для положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы все ее канонические коэффициенты в произвольном базисе имели одинаковые знаки.

 

 

7.2.1. Матрица Грама

Пусть на комплексном пространстве Х заданы положительно определенная эрмитова квадратичная форма и соответствующая ей билинейная форма , - конечная система векторов пространства Х.

Определение. Матрица

называется матрицей Грама данной системы векторов относительно формы .

Матрица Грама системы векторов относительно положительно определенной эрмитовой формы вырождена тогда и только тогда, когда эти векторы линейно зависимы.

Очевидно, матрица положительно определенной квадратичной формы является матрицей Грама базисной системы векторов относительно .

Пример. Определим в пространстве многочленов степени с действительными коэффициентами билинейную форму соотношением

,

где . Очевидно, соответствующая квадратичная форма является положительно определенной. Построим матрицу Грама для системы многочленов

.

и матрица имеет вид

 

 

.

Вычислив определитель , убеждаемся, что многочлены - линейно независимы.

 

7.2.2. Критерий Сильвестра

Для того, чтобы эрмитова квадратичная форма была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы были положительны, т. е.

.

Пример. Найти все значения параметра , при которых положительно определена квадратичная форма

.

Матрица квадратичной формы

.

Главные миноры матрицы

.

Согласно критерию Сильвестра, необходимо выполнение условий

.

Решение первого неравенства а решение второго . Одновременное выполнение этих условий невозможно и, следовательно, квадратичная форма не является положительно определенной.

 

7.2.3. Одновременное приведение двух квадратичных форм к каноническому виду.

Пусть и - симметричные квадратичные формы, заданные на вещественном пространстве, причем одна из них, например, - положительно определена. Тогда существует преобразование переменных, одновременно приводящее эти квадратичные формы к сумме квадратов

,

,

где канонические коэффициенты являются собственными значениями матрицы и могут быть определены как корни алгебраического уравнения .

Пример. Привести к каноническому виду с помощью невырожденного преобразования пару квадратичных форм

,

.

Матрицы данных форм соответственно равны

.

Используя, например, критерий Сильвестра, убеждаемся, что вторая квадратичная форма положительно определена. Поэтому задача имеет решение. Для нахождения канонических коэффициентов составляем и решаем уравнение

,

корни которого . Поэтому в каноническом базисе , .

 

7.2.4. Задачи

Найти все значения параметра , при которых положительно определены квадратичная формы:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. Пусть Х – множество непрерывных на интервале функций. Зададим на множестве Х билинейную форму

.

Показать, что положительно определена. Построить матрицу Грама системы функций и доказать их линейную независимость.

6. Доказать, что определитель матрицы Грама системы векторов не изменится, если какой-либо вектор системы заменить перпендикуляром, опущенным из этого вектора на линейную оболочку любых других векторов системы.

Выяснить, что в следующих парах квадратичных форм одна форма положительно определена и привести их одновременно к каноническому виду, не определяя канонический базис:

7. ,

.

8. ,

.

9. ,

.

 

 

7.3 Поверхности второго порядка

Определение. Поверхностью второго порядка в пространстве называется геометрическое место точек, координаты которых относительно ортонормированного базиса удовлетворяют уравнению

,

где - вещественные числа.

Исследование уравнения поверхности основано на приведении его к каноническому виду с помощью невырожденных преобразований координат. Обозначим , , . Тогда уравнение поверхности примет вид

.

С помощью некоторого ортогонального преобразования квадратичную форму можно привести к каноническому виду

,

где - собственные значения матрицы А, - координаты вектора