Определение оператора. Действия с операторами.
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. МАТРИЦА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА. Определение оператора. Действия с операторами. Определение 1. Пусть C и U - линейные пространства, заданные над одним и тем же полем R. Отображение A: C ® U, ставящее в соответствие каждому элементу Определение 2. Оператор A, действующий из C в U, называется линейным, если 1. 2. Если пространство U совпадает с C, то линейный оператор A:C®C называют линейным преобразованием пространства C. Пример 1. Поставим в соответствие каждому вектору Пример 2. Пусть Определение 3. Два оператора Определение 4. Оператор Определение 5. Оператор Определение 6. Оператор
|
C некоторый элемент 
U, называется оператором, действующим из C в U. При этом используются обозначения 
или 
.
и 
выполняются соотношения
-свойство аддитивности оператора.
- свойство однородности оператора.
C этот же вектор 
.Получим линейный оператор E: C®C, который называется тождественным или единичным оператором.
. Пусть 
- ортонормированный базис в 
, а 
- его расширение до базиса в 
. Поставим в соответствие каждому вектору 
вектор 
, определив его следующим образом 
. Полученное отображение – линейный оператор, который называется оператором проектирования на подпространство.
и 
называются равными, если 
.
называется суммой операторов 
(
), если 
.
называется произведением оператора 
, если 
.
называется произведением операторов 
(С=ВА), если 
.
