Максимальное значение погрешности равно при этом

ΔА = ΔX + ΔY. (13)

Такова ие будет максимальная абсолютная погрешность при

А = X – Y. Таким образом, относительные погрешности величин, являющихся суммой или разностью двут! параметров, равны соответственно:

и (14)

Пусть теперь A = X^.Y - тогда

Пренебрегая слагаемым второго порядка малости |ΔX^. ΔY| имеем:

(15)

или (16)

Если , то

Максимальное значение погрешности ΔА получится в случае, если погрешности в числителе и в знаменателе данного выражения взять с разными знаками. Тогда можно записать:

Здесь мы пренебрегли членами (ΔY)² и ΔX^. ΔY. Максимальная абсолютная погрешность равна в этом случае

, (17)

а относитедьная погрешностс, как и в (16), равна

Полученные результаты легко обобщаются на произвольное количество сомножителей. Если в самом общем случае

,

где С — постоянный коэффициент, а α, β, γ,... — любые целые или дробные числа, то относительную погрешность косвенного измерения величины А можно эаплеать в виде:

(18)

Простота последнего выражения указывает на то, что в большинстве случаев удобно оценить сначала относительную погрешность косвенного измерения, а потом уже найти его абсолютную погрешность. Следует, однако, обратить внимание на то обстоятельство, что приведенные формулы применимы только в том случае, если параметры X, Y, Z,.... не зависят друг от друга. Если же, к примеру, , где Z = X + Y расчет по формуле (18) приведет к неправиль­ному результату, т.к. погрешности одной и той же величины Y будут приписаны различные знаки, поскольку указанная величина фигурирует как в числителе, так и в знаменателе исходного выражения.

Более общие правила вычисления погрешностей, позво­ляющие избежать подобных ошибок, можно получить, исполь­зуя дифференциальное исчисление.

Пусть по-прежнему A = ƒ(X, Y, Z, …). Тогда отно­сительную погрешность косвенного измерения можно записать в виде . С другой стороны, Таким образом, относительая погрешность величины А равна полному дифференциалу на­турального логарифма функции, определяющей зависимость данной величины от измеряемых, т.е.

Таким образом, для нахождения необходимо:

1) прологарифмирэвать исходную формулу ln A = ln ƒ(X, Y, Z, …)

2) продифференцировать полученное уравнение, заменив затем дифференциалы dA, dX, dY... погрешностями ΔA, ΔX, ΔY,...;

3) сгруппировать члены, содержащие одни и те же погрешности, вынести эти погрешности за скобки, а выражения в скобках взять по модулю;

4) заменить знаки “-” перед коэффициентами при погрешностях на знак “+” (для нахождения максимального значения Е).

Общая формула для расчета относительной погрешности будет при этом выглядеть следующим образом:

, (19)

В качества примера приведем оценку относительной погрешности величины γ, вычисляемой по формуле , где средние значения параметров, полученные после проведения серии измерений (отсчеты по шкале мано­метра в работе 1.65).

Надо сказать, что расчет по формуле (20) приводит, как правило, к завышению погрешности результата косвенных измере­ний. Причем это завышение зависит от числа параметров Х, Y, Z,... Если, например, имеется пять таких параметров, то вероятность того, что все ошибки будут иметь заданный знак равна . При большем их числе указанная вероятность будет еще меньше. Таким образом, понятно, что максимально возможное значение относительной погрешности, даваемое выра­жением (20), во многих случаях значительно больше реальной погрешности результата.

Теория вероятностей дает более правильные формулы для оценки погрешностей косвенных измерений. Если при пря­мых измерениях параметров X, Y, Z... доминирующей является случайная погрешность, то погрешность косвенного измерения также является случайной величиной. Это означает, что следует искать среднюю квадратичную погрешность резуль­тата. Так, если A = X + У, то вместо выражений (13) и (14) будем иметь:

и (21)

Общая формула для расчета относительной погрешности будет в этом случае иметь следующий вид:

 

(22)

или

(23)

В частности, при имеем:

(24)

 

Следует подчеркнуть, что расчет погрешностей по формулах (22) - (24) желательно производить в тех случаях, ког­да погрешности измеряемых параметров имеют, в основном, слу­чайный характер. В условиях же, например, учебной лаборато­рии. ввиду несовершенства измерительных приборов приходится главным образом иметь дело с приборными погрешностями. При этом большинство величин, входящих в расчетную формулу, изме­ряются только один раз. К тому же общее число параметров обычно невелико. Поэтому можно рекомендовать для оценки погрешностей косвенных измерений более простые формулы (13) – (20).

Очень часто в выражении, используемом для определения искомой величины, встречаются параметры, которые в данном эксперименте непосредственно не измеряются. Это могут быть табличные величины (π, g, и т.п.), либо величины, определенные кем-либо заранее и представленные в виде готового результата (например, масса гири или диаметр катушки, заклю­ченной внутри установки). Поскольку указанное величины не являются абсолютно точным, следует учесть вклад соответствующих погрешностей в погрешность вычисляемого результата (см. работы 1.01, 1.25).,

Для оценки погрешности в этих случаях (если, конечно, последняя не задана в явном виде) может быть рекомендовано следующее общее правило: абсолютная погрешность берется равной половине единицы наименьшего разряда, представленного в числе. Так, если задана плотность жидкости

ρ = 4,0380·10³ кг/м³, то погрешность следует взять рав­ной 0,00003 кг/м³

Указанный способ оценки погрешностей вытекает из того факта, что последняя цифра в числе уже не является в боль­шинстве случаев точной (смотри ниже правила округления). Что касается табличных величин, то они при необходимости мо­гут быть взяты с очень большой точностью. Тогда связанными с ними ошибками пренебрегают. При значительном же округлении этих величин погрешности возрастают и, в принципе, должны быть учтены. Их расчет обычно ведется по общему правилу, т.е. если используется значение π = 3,14, то Δπ = 0,005.

Рассчитав окончательно относительную погрешность Е, находят затем абсолютную погрешность косвенного измерения ΔА = Е·А. (25)

Обработка результатов измерений

Все экспериментальные данные, получаемые в результате прямых измерений, должны быть занесены в специальную табли­цу (или таблицы). Для величин, значения которых измерялись по нескольку раз, необходимо подсчитать среднее арифмети­ческое серии измерений. При этом следует пенить, что точ­ность обработки числового материала должна быть согласована с точностью самих измерений. Обычно при вычислении средних значений рекомендуется оставлять на одну значащую цифру больше, чем содержится в непосредственно измеренных значе­ниях.

Затем необходимо произвести оценку случайной погреш­ности. Используемые для расчетов средней квадратичной ошиб­ки значения ΔX_i и (ΔХ_i)² удобно поместить в ту же таблицу, где находятся результаты опытов (т.е. значения X_i). Для сравнения там же обычно указывают и погрешности использовавшихся приборов.

Расчет конечного результата измерений, которые являют­ся в большинстве случаев косвенными, производится один раз. При этом в расчетную формулу подставляются средние значения измеренных параметров. Дальнейшая обработка сводится к вы­числению относительной и абсолютной погрешностей по изло­женной методике.

Для правильной записи конечного результата в виде (12) необходимо округлить значение абсолютной погрешности и сам результат измерений. Как правило, точность оценки погрешности оказывается очень небольшой, особенно в тех случаях, когда число входящих в расчетную формулу парамет­ров велико. Поэтому абсолютная погрешность округляется, как правило, до одной значащей цифры. Если, однако, эта цифра оказалась единицей, следует оставить две значащие цифры.

Округление самой измеренной величины следует проводить, учитывая ее абсолютную погрешность. При этом последняя значащая цифра в приводимом результате должна быть того же по­рядка величины (находиться в той же десятичной позиции), что и погрешность. Все более мелкие разряды не несут ника­кой информации и должны быть отброшены (или заменены ну­лями). Особенно строго следует придерживаться этого пра­вила в тех случаях, когда погрешность не указывается в яв­ном виде, так как именно последний разряд числа, дающего значение физической величины, показывает точность ее оп­ределения. Или, например, в результате расчетов получено, что J = 0,1428 кг·м³, ΔJ = 0,00791 кг·м³, то правиль­ная запись конечного результата будет выглядеть так:

J = 0,014 ± 0,008 кг·м³.

В некоторых случаях при обработке результатов измере­ний удобно пользоваться графическим методом. Этот метод позволяет проследить зависимость одной физической величины от другой (например, зависимость периода колебаний физи­ческого маятника от расстояния между его центром масс и осью вращения). Иногда построение графиков необходимо для определения усредненных значений тех или иных параметров. (Можно, к примеру, найти ускорение тела по графику зависи­мости пути от квадрата времени).

При построении графиков обычно используется прямоуголь­ная систем координат с равномерным масштабом по осям Х и Y. Значения аргумента следует откладывать по оси X, а значение функции - по оси Y. Масштаб может быть произ­вольным, но при его выборе рекомендуем руководствоваться следующими указаниями.

Проводимая кривая должна занимать весь лист используе­мой миллиметровой бумаги. При этом следует иметь в виду, что пересечение координатных осей совсем необязательно должно совпадать с нулевыми значениями аргумента и функции. Важную роль играет также удобство построения и использова­ния графиком. Надо поэтому выбирать такой масштаб, чтобы координаты любой точки графика могли быть быстро и легко определены. Это условие всегда выполняется, если в единице масштаба (например, в 1 см) заключается 10ⁿ, 2·10ⁿ или 5·10ⁿ единиц измерения физических величин, откладываемых по осям координат (n - любое целое число).

После того, как масштаб выбран, следует начертить коор­динатные оси, отметив на них деления масштаба. и указать буквенные обозначения и размерность откладываемых величин. Если эти величины очень малы (или очень велики) при нане­сении масштаба удобно использовать рационализированную фор­му записи, указывая порядок величины рядом с ее буквенным обозначением. При этом допускается два вида записи. Пусть, например, индукция магнитного поля катушки с током меняется в пределах (2÷8) 10^-5 Тл. На графике зависимости В(I) около делений масштаба надо проставить числа 2, 3, 4 и т.д., а сверху написать либо В, 10^-5 Тл, либо Вx10^-5, Тл.

Полученные экспериментальные данные наносятся в виде графика Y = Y(Х), где точки имеют координаты Х_n, Y_n, окруженные эллипсами с главными полуосями ΔX_n, ΔY_n. Эллипсы отражают погрешности измерения. Часто вместо эллип­сов рисуют крестики, точки, кружочки и пр. Затем строится кривая, демонстрирующая вид изучаемой функции. Кривая должна быть плавной и может проходить как через эксперимен­тальные точки, так и в непосредственной близости от них. Желательно, чтобы указанные точки оказались па обе стороны кривой, приблизительно на одинаковых от нее расстояниях.

Для наиболее точного построения искомой кривой ис­пользуют так называемый метод наименьших квадратов (см. Дополнение). Следует подчеркнуть, что указанный ме­тод не дает ответа на вопрос, какого вида функция наилучшие образом аппроксимирует данные точки, а позволяет лишь выбрать наиболее подходящую кривую определенного вида (пара­болу, прямую, экспоненту и т.д.).

Как правило, отклонение точек от кривой не должно превышать абсолютную погрешность проведенных измерений. Эти погрешности, как уже говорилось, могут быть указаны на гра­фике в виде эллипсов или отрезков, отложенных от каждой точки (рис. 2). Сильное отклонение отдельных точек от аппроксимирующей кривой связано в основном с ошибками, до­пущенными при восполнении опытов. Поэтов желательно строите графики в процессе измерений или сразу же после них, чтобы иметь возможность выявить подобные ошибки, называемые про­махами, и при необходимости, провести дополнительные изме­рения.

Построение графика в ходе эксперимента позволяет также осуществить наиболее рациональное количество измерений. В тех областях, где ход кривой монотонный, можно ограничиться небольшим числом измерений. Вблизи максимумов, минимумов и точек перегибов кривой измерения надо производить значитель­но чаще.

Пользуясь полученной кривой, можно оценить значения изучаемой функции для тех значений аргумента, которые не­посредственно не наблюдались (интерполяция). Для этого из любой точки на оси абсцисс (в пределах диапазона изменения аргумента) надо провести перпендикуляр до пересечения с кри­вой. Его длина с учетом масштаба даст значение искомой функции, соответствующее выбранному значению аргумента. Пример­ный вид графика, построенного по экспериментально получен­ной зависимости напряжения на конденсаторе колебательного контура от частоты генератора (вынужденные колебания), показан на рисунке 2 (см. работу 2.39).

 

 

Электронная версия лабораторных работ по физике

© Otl. Company Ltd. 2000г.

Сканировал (очень плохо – лучше бы не сканировал) Комаров Н., распознавали и редактировали Смирнов К. и Молоков В.