Матричная игра двух лиц с нулевой суммой

В игре двух лиц с нулевой суммой (такую игру называют также антагонистической) принимают участие два игрока: игрок 1 и иг­рок 2. В распоряжении каждого из них имеется множество стра­тегий. Под стратегией понимают совокупность правил (принци­пов), определяющих выбор варианта действий при каждом ходе игро­ка в зависимости от сложившейся ситуации. Пусть А = { а ₁, а ₂ ,... } — множество стратегий игрока 1, В = { b ₁, b ₂ ,... } — множество стра­тегий игрока 2. Элементы множества А — возможные стратегии (действия) игрока 1, элементы множества В — стратегии игрока 2. Условия игры представлены так называемой функцией выигрыша игрока 1: H (a_i, b_j), где а_i Î А — i -я стратегия игрока 1, b_j Î В — j -я стратегия игрока 2. В игре с нулевой суммой выигрыш игрока 2 равносилен проигрышу игрока 1 и равен поэтому — H (a_i, b_j). Пред­полагается, что функция выигрыша обоим игрокам известна. По­скольку игроков всего двое и игра антагонистическая, коалиции невозможны.

Игра, в которой множества А и В стратегий игроков конечны, т.е. | А | < ¥, | В |< ¥, называется матричной. В этом случае функ­ция выигрышей игрока 1 имеет вид матрицы, называемой матри­цей игры (матрицей выигрышей, платежной матрицей) Н = { а_ij } _m,n, i = 1,..., т; j = 1,..., п. Строки этой матрицы соответствуют стра­тегиям a ₁, а ₂ ,..., а_m игрока 1, столбцы — стратегиям b ₁, b ₂ ,..., b_n игрока 2. Элемент матрицы a_ij = H (a_i, b_j) — выигрыш игрока 1 в случае, когда он применит стратегию а_i, а его противник — стра­тегию b_j, i = 1,..., т; j = 1,..., п.

Элементы матрицы могут быть положительными, отрицатель­ными или равными нулю. Случай, когда данный элемент матри­цы положителен, означает, что игрок 2 в определенной ситуа­ции должен уплатить игроку 1 сумму, равную значению этого эле­мента. Если данный элемент отрицателен, игрок 1 уплачивает игроку 2 сумму, равную абсолютному значению этого элемента. И наконец, если этот элемент равен нулю, никакой выплаты не производится. Таким образом, в игре двух лиц с нулевой суммой один игрок выигрывает столько же, сколько проигрывает другой (все выплаты производятся из «карманов» противников). Это и объясняет название — игра с нулевой суммой.