ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 1) Линейное пространство. Базис. Координаты. 2) Преобразование координат вектора при переходе к новому базису. 3) Линейный оператор. Матрица оператора. 4) Преобразование матрицы оператора при переходе к новому базису. 5) Действия над линейными операторами. 6) Собственные векторы и собственные значения. 7) Евклидово пространство. Неравенство Коши—Буняковского. 8) Сопряженные и самосопряженные операторы. Их матрицы. 9) Ортогональное преобразование; свойства; матрица. 10) Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 1) Найти какой-нибудь базис и размерность подпространства 2) Доказать, что все симметрические матрицы третьего порядка образуют линейное подпространство всех квадратных матриц третьего порядка. Найти базис и размерность этого подпространства. 3) Найти координаты многочлена 4) Линейный оператор
Найти матрицу этого же оператора в базисе 5) Найти ядро и образ оператора дифференцирования в пространстве многочленов, степени которых меньше или равны трем. 6) Пусть 7) Пусть 8) Доказать, что если матрица оператора А — симметрическая в некотором базисе, то она является симметрической в любом базисе (базисы — ортонормированные).
|
пространства 
, если 
в базисе 1, 
.
в базисе 
имеет матрицу
.
и 
— собственные векторы линейного оператора 
не является собственным вектором оператора 
Будет ли оператор 
