В в е д е н и е. Количество теплоты, необходимое для нагревания тела на один градус, называют теплоемкостью тела

Количество теплоты, необходимое для нагревания тела на один градус, называют теплоемкостью тела. Количество теплоты, необходимое для нагревания единицы массы вещества на один градус, называют удельной теплоемкостью тела:

с = . (1)

Формула (1) представлена в дифференциальной форме потому, что удельная теплоемкость реальных тел и газов зависит от температуры. Поскольку количество теплоты зависит от процесса, то и теплоемкость существенно зависит от процесса.

Молярная теплоемкость вещества – теплоемкость одного моля этого вещества:

С = , (2)

c = , (3)

где m - молярная масса.

Рассмотрим теорию теплоемкости идеального газа.

Величина теплоемкости, характеризующая свойства газов, не является для данного газа величиной постоянной, а зави­сит от условий, при которых про­ис­ходит нагревание. Эту зависи­мость можно получить, воспользовав­шись первым началом термодинамики, которое формулируется следующим образом:

Количество теплоты dQ, переданное системе, затрачивается на увеличение ее внутренней энергии dU и на работу dА, совершае­мую системой против внешних сил:

dQ = dU + dA = dU + PdV. (4)

Если нагревание газа происходит при постоянном объеме, то газ не совершает работы (PdV = 0) и, следовательно, согласно первому началу термодинамики, все количество теплоты идет на увеличение внутренней энергии газа:

dQ = dU. (5)

Внутренняя энергия одного моля идеального газа

U = RT, (6)

где i – число степеней свободы молекулы газа, R – универсальная газовая постоянная.

Теплоемкость одного киломоля идеального газа при постоянном объеме

C_V = = = R. (7)

Если нагревание газа происходит при постоянном давлении, то газ, расширяясь, совершает положительную работу против внешних сил. В соответствии с первым началом термодинамики (4) при изобарическом процессе подведенное количество теплоты расходуется на изменение внутренней энергии газа (dU) и совершение работы (dA), связанное с расширением газа:

dQ = dU + PdV. (8)

Из уравнения Клапейрона

PV = RT (9)

следует

PdV = RdT (10)

и

dQ = dU + RdT. (11)

Отсюда молярная теплоемкость при постоянном давлении

C_P = = + R, (12)

где C_V = - молярная теплоемкость при постоянном объеме. Следовательно,

C_P = C_V + R. (13)

Это - уравнение Майера, связывающее теплоемкости изобарного и изохорного процессов: молярная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении больше молярной теплоемкости при постоянном объеме на величину универсальной газовой постоянной R.

В классической теории теплоемкость идеального газа определяется числом степеней свободы молекул и не зависит от температуры. Для одноатомного газа (i = 3) C_V = R, C_P = R; для двухатомного (i = 5) C_V = R, C_P = R.

Если процесс перехода системы из одного состояния в другое протекает без теплообмена с окружающей средой, то такой процесс называется адиабати­чес­ким. При таком процессе уравнение (4) примет вид

dU + dA = 0

или

dA = -dU, (14)

т.е. при адиабатическом расширении или сжатии работа совершает­ся газом только за счет изменения запаса внутренней энергии. Уравнение адиабатического процесса (уравнение Пуассона) может быть выведено следующим образом. Поскольку dA = PdV, a dU = C_VdT, то уравнение (14) принимает вид:

PdV = - C_V dT. (15)

Разделив это уравнение на (9), получим

= -

или

. (16)

Учитывая уравнение Майера, получим выражение для множителя = = – 1.

Если обозначить = g, то уравнение (16) примет вид

(g - 1) (17)

Интегрируя и потенцируя уравнение (17), находим

ln V^g-1 + ln T = const,

T×V^g-1 = const. (18)

Используя уравнение состояния (9), получим уравнение Пуассона

P×V^g = const. (18)

Величина g зависит только от числа степеней свобо­ды молекул, из которых состоит газ.

Значения удельной теплоемкости некоторых газов приведены в таблице 1.

Таблица 1

Газ	Сv, Дж/кг К	Сp, Дж/кг К	g = Сp/Сv
He			1.66
Ar			1.67
H2			1.41
N2			1.40
O2			1.40
CO			1.40
NH3			1.31
CO2			1.30

Адиабатический процесс можно осуществить на следующей установке (рис. 1). В большой закрытый баллон Б, соединенный с U-образным открытым водяным манометром М, насосом Н нагнетается воздух. Через время t в нем уста­но­вится давление

Р₁=Н+h₁, (20)

где Н - атмосферное давление; h₁ - избыток давления воздуха в баллоне над атмосферным Н, измеряемый манометром и равный разности уровней жидкости в манометре.

Затем, если открыть кран П, то сжатый воздух быстро выйдет наружу, так как кран имеет довольно большое отверстие. Как толь­ко давле­ние в баллоне снизится и станет равным атмосферному (Н) - кран быстро закры­вают. Такой про­цесс расширения мож­но считать адиа­ба­тичес­ким, так как он протекает быстро и потому без теплообмена.

Пусть масса воздуха после накачивания насосом в баллоне объемом V₁ равна m. При открывании крана часть воздуха (Dm) выходит. Тогда масса оставшегося воздуха m₁ = m - Dm. Масса воз­духа m₁, которая заключается в объеме V₁, занимала перед открытием крана меньший объем V₂. Таким образом, уравнение (19) для массы газа m₁ в нашем случае, примет вид:

HV₁^g = P₁V₂^g, (21)

где Н и V₁ - давление и объем воздуха в конце процесса; P₁ и V₂ - давление и объем той же массы газа в начале процесса.

При адиабатическом расширении воздух в сосуде несколько охладится, но через некоторое время вследствие теплопроводности стенок температура воздуха начнет изохорически повышаться и снова станет равной температуре окружающей среды, а давление поднимется до величины P₂ = H + h₂ (h₂ - дополнительное давление, измеряемое манометром).

Начальное и конечное состояния газа наблюдаются при одина­ковой темпе­ратуре. Поэтому на основании закона Бойля-Мариотта получим

P₁V₂ = P₂V₁. (22)

Решив соответственно уравнения (21) и (22), получим

= . (23)

Логарифмируя(23), найдем

lg H – lg P₁ = g×(lg P₂ – lg P₁),

откуда

g = . (24)

Поскольку на практике давления Н, Р₁ и Р₂ незначительно отличаются друг от друга, то в последней формуле разности логарифмов можно заменить разнос­тя­ми самих величин:

g = . (25)

Если учесть, что P₁ = H + h₁, а Р₂ = Н + h₂, из уравнения (25) получим расчетную формулу для данного опыта:

g = . (26)

Рассмотренный метод определения отношения Сp/Сv может дать значение, близкое к табличному, только для случая малых сжатий и расширений газа в сосуде.