Практикум. Линейные и евклидовы пространства

В данном практикуме рассматриваются следующие основные задачи:

1) исследование системы векторов на линейную зависимость и линейную независимость;

2) нахождение базиса и размерности линейного пространства решений однородной системы линейных алгебраических уравнений;

3) построение базиса в линейном пространстве;

4) нахождение формул преобразования координат при переходе от базиса к базису, разложение вектора по векторам базиса;

5) построение ортогонального и ортонормированного базисов методом ортогонализации Грама-Шмидта;

6) дополнение системы векторов до ортогонального базиса в евклидовом пространстве.

Примеры задач, рассматриваемых в данном практикуме, соответствуют заданиям 1, 2, 3, 4, 5 типового расчета.

Пример 1. Исследовать систему векторов :

пространства на линейную зависимость.

Решение. Составим линейную комбинацию

из векторов системы с весовыми коэффициентами и приравняем ее к нулевому вектору

.

Получим

(1)

Пользуясь правилами умножения числа на вектор-столбец и сложения двух вектор-столбцов, упростим левую часть последнего уравнения в (1)

Итак, получили равенство

Два вектор-столбца равны, когда равны соответствующие компоненты.

В результате приходим к системе однородных линейных алгебраических уравнений

(2)

Основная матрица этой системы имеет вид (элементами матрицы являются коэффициенты при неизвестных )

.

Найдем определитель матрицы (например, разложением по элементам первой строки, они выделены в прямоугольники):

Так как определитель отличен от нуля, то матрица является неособенной, а значит, система (2) имеет единственное тривиальное решение

Это означает, что равенство (1) выполняется только при нулевых значениях чисел , то есть система является линейно независимой.

Эту же задачу можно решить и другим способом. Известно, что система вектор-столбцов пространства является линейно независимой, если матрица, составленная из компонент вектор-столбцов , является неособенной матрицей (ее определитель отличен от нуля). Так как в этом случае эта матрица совпадает с матрицей , то система является линейно независимой.

Пример 2. Исследовать систему векторов :

пространства на линейную зависимость. В случае линейной зависимости выразить какой-нибудь вектор через остальные векторы системы.

Решение. Составим линейную комбинацию

из векторов системы с весовыми коэффициентами и приравняем ее к нулевому вектору .

Получим

. (3)

Как и при решении примера 1, пользуясь правилами умножения числа на вектор-столбец и сложения двух вектор-столбцов, упрощая равенство (3), приходим к следующему равенству

.

В результате получаем систему однородных линейных алгебраических уравнений

(4)

Основная матрица этой системы имеет вид (элементами матрицы являются коэффициенты при неизвестных )

.

Найдем определитель матрицы (разложением по элементам третьей строки, они выделены в прямоугольники):

Так как определитель , то матрица является особенной, а значит, однородная система (4) имеет по крайней мере хотя бы одно нетривиальное решение. Найдем это нетривиальное решение.

Для этого используем метод Гаусса решения системы (используем элементарные преобразования над строками основной матрицы системы (4)):

Последняя матрица есть ступенчатая матрица. Ранг ее равен 2, система (4) имеет бесконечное множество решений. В качестве базисных (основных) переменных выберем переменные (при этом является свободной переменной). Переходя от ступенчатой матрицы к системе уравнений, получим

Выражая базисные переменные через свободную , получим

Взяв в качестве число 1, получим нетривиальное решение системы (4):

Это означает, что равенство (3) выполняется при ненулевых значениях чисел , то есть система является линейно зависимой.

При найденных значениях равенство (3) примет вид

Из последнего равенства удобно выразить вектор в виде линейной комбинации векторов :

.

Пример 3. Найти базис и размерность линейного пространства решений однородной системы линейных алгебраических уравнений

Решение. Приводим матрицу системы к ступенчатому виду

(во второй матрице три одинаковые строки, значит, последние две из них можно обнулить). Итак, ступенчатая матрица имеет вид

.

Ранг матрицы . Принимая переменные за базисные, а за свободные (обозначаем при этом ), получим общее решение рассматриваемой ОСЛАУ

Составляем базис пространства решений (фундаментальную систему решений, при этом ):

.

Пример 4. Дана система векторов :

.

1. Доказать, что она является базисом в пространстве , написать матрицу перехода от стандартного базиса пространства к базису .

2. Написать формулы преобразования координат при преобразовании базиса. Пользуясь полученными формулами, найти координаты вектора

в базисе , если он задан в базисе .