Портфель из двух активов.

Формулы расчета для расчета доходности и риска портфеля значительно упрощаются и становятся наглядными, если портфель составлен из двух бумаг.

Пример 1.

Для портфеля из двух акций А и В рассчитать ожидаемую доходность портфеля,

стандарное отклонение для различных значений долей акций в портфеле. Построить эффективное множество.

Каким значениям корреляции соответствуют границы портфеля.

Акции	Ожидаемая доходность в %	Стандартное отклонение в %
А
В

 

Риск и доходность портфеля из двух бумаг легко находится из формул

(8)

Поскольку сумма весов в портфеле должна быть равна единице, то выразим вес акции 2 через вес акции 1 - w₁

w₂ = 1 - w₁ (9)

Подставляя теперь (9) в выражения для доходности и риска портфеля (8) получим

 

(10)

 

Если для различных значений корреляции между бумагами А и Б и долями бумаг в портфеле построить множество , то получим множество возможных портфелей, которое получило название множество Марковица. Для коэффициентов корреляций {-1;-0,5;0;0,5;1} по формулам были найдены соответствующие значения доходности r _p и риска σ_p портфеля. Результаты расчетов показаны на рис.2

Рис.2

Границы множества Марковица для различных значений коэффициента корреляции активов, входящих в портфель

 

Граница имеет вид пули. Это легко можно объяснить, если рассмотреть случай двух типов акций позицией. При запрещенной короткой позиции вес каждой бумаги в портфеле должен быть неотрицательным. Риск можно полностью исключить, если бумаги имеют отрицательную корреляцию.

Стратегия Марковица заключается в том, что с ростом корреляции доходностей активов, входящих в портфель увеличивается вариация портфеля и включение в портфель активов с отрицательной корреляцией уменьшает риск портфеля. На практике таких активов очень мало

Границу множества портфелей Марковица называют эффективной границей Марковица. Портфели, лежащие вне этой границы недостижимы, а внутри неэффективны.

Пусть теперь необходимо найти портфель с минимальным риском. Это означает, что первая производная по дисперсии должна быть равна нулю.

(11)

Решая относительно получим долю акций типа А в портфеле

 

(12)

Минимальный риск будет при корреляции равной , а максимальный при корреляции равной единице

Пример.

Дисперсии (вариаци) равны , , . Минимальный риск будет иметь портфель, содержащий долю акций типа А равную

(13)

Подставляя (13) в выражении для среднеквадратического отклонения (10) найдем риск портфеля из двух бумаг

3,48%