Алгоритм пошуку простих чисел висіюваннямДля знаходження всіх простих чисел не більше заданого числа n, дотримуючись методу Ератосфена, потрібно виконати наступні кроки: 1) Виписати підряд всі цілі числа від 2 до n (2,3,4..., n) 2) Нехай змінна p спочатку дорівнює 2 - першому простому числу. 3) Викреслити зі списку всі числа від 2 p до n, що діляться на p (тобто, числа 2 p, 3 p, 4 p,....) 4) Знайти перше невикреслене число, більше, ніж р, і привласнити значенням змінної p це число. 5) Повторювати кроки 3 та 4 до тих пір, поки p не стане більше, ніж n. 6) Всі невикреслені числа у списку - прості числа. На практиці, алгоритм можна трохи покращити таким чином: На кроці № 3, числа можна викреслювати, починаючи відразу з числа p2, тому що всі складові числа менше нього вже будуть викреслені до цього часу. І, відповідно, зупинити алгоритм можна, коли p2 стане більше, ніж n. 3. Основна теорема арифметики. Доведемо тепер теорему, яка відіграє фундаментальну роль як у теорії подільності, так і в усій теорії чисел, її називають основною теоремою арифметики. Теорема 6. (Основна теорема арифметики). Кожне відмінне від 1 натуральне число π можна записати у вигляді добутку простих чисел і притому єдиним способом, якщо не брати до уваги порядок розміщення співмножників. □ Доведемо спочатку можливість запису натурального числа q ≠ 1 у вигляді добутку простих чисел. Для натурального числа 2 це можливо, бо число 2 просте, тобто його можна вважати добутком простих чисел з числом співмножників, що дорівнює одиниці. Припустимо, що це можливо для всякого натурального числа k, такого, при якому 2 < k < п, і доведемо, що в такому разі і натуральне число п можна записати у вигляді добутку простих чисел. Справді, якщо натуральне число п просте, то воно є добутком простих чисел з числом співмножників, що дорівнює одиниці. Якщо ж число п складене, то воно має дільник k1 відмінний від 1 і від п. Отже, n = k1∙ k2, де k2 – натуральне число, відмінне від 1. Тоді 2 ≤ k1 < n, 2 ≤ k2 < n. ■ Через те що за припущенням кожне з чисел k2 і k2 записується у вигляді добутку простих чисел, то й число n = k1∙ k2 записується у вигляді добутку простих чисел. Отже, внаслідок принципу математичної індукції будь-яке натуральне число п можна записати у вигляді добутку простих чисел. Доведемо тепер єдиність запису числа п у вигляді добутку простих чисел. □ Нехай число п двома способами записано у вигляді добутку простих чисел, тобто п = p1 p2... рr і п = q1 q2... qs, де r ≥; 2, s ≥; 2 і всі числа рi і qk прості. Доведемо, що ці записи можуть відрізнятися лише порядком співмножників, тобто що r = s і при належному виборі нумерації співмножників рi = qі, і = 1, 2,..., s. Доводитимемо це індукцією по п. Для числа 2 правильність цього твердження очевидна. Число 2 є добуток простих чисел з числом співмножників, що дорівнює одиниці. Нехай твердження правильне для всякого числа k, такого, що 2 ≤ k < п. Доведемо, що в такому разі твердження правильне і для числа п. Справді, оскільки п = p1 p2... рr і п = q1 q2... qs, то p1 p2... рr = q1 q2... qs (2) Ліва частина цієї рівності ділиться на просте число p1. Отже, і права частина її ділиться на просте число p1. Звідси за теоремою 2 принаймні один із співмножників q1 qz,..., qs ділиться на просте число р1. Змінивши, якщо потрібно, нумерацію множників q1 qz,..., qs, ми вважатимемо, що на p1 ділиться співмножник q1. Оскільки q1 є просте число і ділиться на відмінне від 1 просте число р1, то q1 = р1. Поділивши обидві частини рівності (2) на число р1 = q1 дістанемо рівність p2 p3... рr = q2 q3... qs Число n1 = p2 p3... рr = q2 q3... qs задовольняє умову 2 ≤ n1 < п. Тому за припущенням для нього твердження правильне, тобто r – l=s–l, і при відповідній нумерації р2 = q2. pз = q3, …, ps = qs Звідси випливає, що r = s і при відповідній нумерації pi = qi, і = 1, 2,..., s. Отже, внаслідок принципу математичної індукції, всяке відмінне від 1 натуральне число n єдиним способом записується у вигляді добутку простих чисел. Цим теорему доведено. ■ Зауважимо, що запис n = p1 p2... ps натурального числа п у вигляді добутку простих чисел p1, p2... ps називають також розкладом числа п у добуток простих множників, або розкладом на прості множники. Основна теорема арифметики показує, що всі натуральні числа дістають з простих чисел за допомогою операції множення: кожне натуральне число (складене) є деякий добуток простих чисел, причому різні добутки дають різні числа. Тепер зрозуміло, чому одиницю не слід вважати простим числом: віднісши 1 до простих чисел, ми порушили б єдиність розкладу числа в добуток простих чисел, оскільки до будь-якого добутку можна приєднати множником 1. 4.Прості числа-близнята Прості числа-близнята – числа, різниця між якими дорівнює 2. Між двома простими числами можуть знаходитися мільйони і мільярди складених чисел або лише одне, бо це найкоротша відстань між простими числами, за виключенням 2 і 3,так як прості числа ніколи не слідують один за одним. Цей факт був використаний у вигляді метафори в назві книги Паоло Джордано «Самотність простих чисел». В одному з романів ця метафора була описана більш детально: «В університеті на одній з лекцій Маттіа дізнався, що серед простих чисел є особливі. Математики називають їх парними або числами-близнятами. Це пари простих чисел, які стоять майже поруч, тому що між ними завжди виявляється інше число, яке заважає їм по-справжньому доторкнутися один до одного. Наприклад, це числа 11 і 13, 17 і 19, 41 і 43, Маттіа думав, що вони з Аліче – ось такі числа-близнята, самотні і загублені, разом, але недостатньо близькі, щоб по-справжньому доторкнутися один до одного». В першій сотні натуральних чисел ми зможемо знайти наступні пари чисел, з різницею 2: 3 і 5, 5 і 7, 11 і 13, 17 і 19, 29 і 31, 41 і 43, 59 і 61, 71 і 73. Такі «парні» числа можуть бути описані виразом (p, p+2), де p – просте число. Нижче наведено список усіх простих чисел-близнят з першої тисячі: 3 і 5, 5 і 7, 11 і 13, 17 і 19, 29 і 31, 41 і 43, 59 і 61, 71 і 73, 101 і 103, 107 і 109, 137 і 139, 149 і 151, 179 і 181, 191 і 193, 179 і 181, 191 і 193, 197 і 199, 227 і 229, 239 і 241, 269 і 271, 281 і 283, 311 і 313, 347 і 349, 419 і 421, 431 і 433, 461 і 463, 521 і 523, 569 і 571, 599 і 601, 617 і 619, 641 і 643, 659 і 661, 809 і 811, 821 і 823, 827 і 829, 857 і 859, 881 і 883. Ми знаємо, що прості числа-близнята зустрічаються все рідше і рідше. Проте комп’ютерні розрахунки показують, що вони продовжують зустрічатися навіть серед незвичайно великих чисел. А так як існує нескінченна кількість простих чисел, можна висунути гіпотезу, що існує незліченна кількість простих чисел-близнят, але цього ще нікому не вдалося довести. Найбільшою парою чисел-близнят вважають 65516468355 Ще одна чудова група простих чисел, яка зустрічається в першій сотні натурального ряду, містить три такі числа: 3, 5, 7.Вони можуть бути записані як (р,р+2,р+4), де р- просте число. Ця група простих чисел складається з так званих «трійок».
5. Прості числа Мерсенна. Числа Мерсенна – це числа виду Мабуть, першим, хто помітив, що не всі числа Мерсенна з простими показниками (відомо, що для складених показників число Мерсенна не може бути простим) є простими, був Худальрікус Регіус в 1536 році. Він показав, що при p = 11 число, що вийшло – це 2047 – виявляється складеним, оскільки подається у вигляді добутку 23 і 89. У XVII столітті пошук простих чисел Мерсенна став досить популярною серед математиків розвагою. У 1640р. до вивчення цих чисел підключився знаменитий П'єр Ферма – він показав, що роботи його попередників, в яких затверджувалася простота чисел для p = 23 і p = 37, були помилкові. Але взагалі, Ферма не унікальний у своєму інтересі до цього предмету. В історії цих чисел відзначилися багато відомих учених: Ейлер, Паскаль, Галілео, Гюйгенс. Ім'я ж своє числа Мерсенна отримали на честь французького ченця Марена Мерсенна, філософа, теолога і математика. Він натрапив на ці числа в пошуках універсальної формули, яка дозволяла б перераховувати всі прості числа. У 1648 році він випустив працю Cogitata Physica-Mathematica, в якій висловив припущення, що числа виду Марен Мерсенн протягом першої половини XVII століття був по суті координатором наукового життя Європи, ведучи активну переписку практично з усіма видатними вченими того часу. Це листування має величезну наукову та історичну цінність. Мерсенн має також серйозні особисті наукові заслуги в галузі математики, акустики та теорії музики. 6. Найпростіші та суперпрості числа Просте число називають найпростішим, якщо після відкидання однієї, двох, трьох і т.д. цифр ми будемо одержувати просте число. Очевидно, що таке число може починатися тільки на 2, 3, 5, 7, а всередині числа не можуть бути цифри 0, 2, 4, 6, 8, 5. Маючи таблицю простих чисел легко скласти комп'ютерну програму, яка відбере найпростіші числа. Наводимо приклади найпростіших чисел 23, 53, 317, 539, 797, 2393, 3793, 3797, 73331, 373393, 2399333, 73939133, 59393133, 73939133. Можна показати, використавши подільність на три і принцип Діріхле, що найпростіших дев'ятицифрових і довших не існує. Тобто, множина найпростіших чисел скінченна. Просте число називають суперпростим, якщо після відкидання одно, двоцифрового і т.д. чисел, які будуть простими – числа, які при цьому отримаємо теж будуть простими. Очевидно, що суперпрості числа є підмножиною найпростіших чисел. Тому підмножину суперпростих чисел легко скласти за допомогою нескладної комп'ютерної програми, яка відбере суперпрості числа з найпростіших чисел. Наведемо приклади суперпростих чисел: 29, 317, 3797, і т.д. Ця підмножина теж скінченна.
6. Визначення великих простих чисел З’ясування того, чи відноситься число до простих чи ні є доволі складною задачею, адже якщо допустити, що маємо число n, то необхідно перевірити його на подільність на проміжку від 2 до n-1 цілих чисел. Щоб скоротити цей процес в математиці (теорії чисел) було доведено, що для доведення простоти числа, його можна перевірити на подільність на проміжку від 2 до округленого кореня з n, це значно скорочує кількість дій. (див. Додаток A) 7. Дружба чисел Два натуральних числа m і n називаються дружніми, якщо сума власних дільників m дорівнює n, а сума власних дільників n дорівнює m. Історія дружніх чисел губиться в глибині століть. За свідченням античного філософа Ямвлиха (III - IV ст.), Великий Піфагор на питання, кого слід вважати своїм другом, відповів: «Того, хто є моїм другим я, як числа 220 і 284». У 1747-1750 рр.. Леонард Ейлер провів унікальні числові розкопки. Він придумав оригінальні методи пошуку і виявив відразу 61 нову пару дружніх чисел. Примітно, що серед них опинилися і не парні числа: 69 615 і 11498355; 87633 і 12024045. Зараз відомо близько 1100 пар дружніх чисел. Цікаво, що в 1866 р. італійський школяр Н. Паганіні знайшов пару дружніх чисел 1184 і 1210, яку всі, в тому числі і видатні математики, прогледіли. Ось пари дружніх чисел в межі 100 000: 220 – 284; 1184 – 1210; 2620 – 2924; 5020 – 5564; 6232 – 6368; 10744 - 10856 12285 – 14595; 17296 – 18416; 63020 – 76084; 66928 – 66992; 67095 – 71145; 69615 – 87633; 79750 – 88730. Дружні числа продовжують приховувати безліч таємниць. Чи є змішані пари, у яких одне число парне, а інше не парне? Чи існує загальна формула, що описує всі дружні пари? На ці та інші питання відповіді поки не знайдені. З досвіду обчислення люди знали, що кожне число є або простим, або добутком декількох простих чисел. Але вони не вміли цього доводити. Піфагор або хтось із його послідовників знайшов доказ цього твердження. Тепер легко пояснити роль простих чисел в математиці: вони є тими цеглинками, з яких за допомогою множення будують всі інші числа. Добре було б, якщо всі прості числа можна було порахувати. Хай їх було б хоч мільйон - все одно ми знали б, що, перемноживши ці прості числа, можемо отримати всі інші. Але це виявилося не так. Через два століття після Піфагора грецький геометр Евклід написав книгу «Начала». І одним із тверджень цієї книги було наступне: найбільшого простого числа не існує. Прості числа в натуральному ряді чисел розташовані дуже химерно. Іноді між ними є тільки одне парне число (всі прості числа, крім числа 2, непарні). Такими близнюками (так їх кличуть у науці), є: 11 і 13, 17 і 19, 29 і 31. Досі невідомо, чи є найбільші близнюки чи ні. А іноді між сусідніми простими числами лежить прірва в мільйони і мільярди чисел. Першим глибокі результати про те, як розкидані прості числа серед інших натуральних чисел, отримав великий російський математик Пафнутій Львович Чебишев, засновник і керівник російських математичних досліджень в минулому столітті.
8. Проблема Гольдбаха З простих чисел можна отримати будь-яке число за допомогою множення. А що буде, якщо складати прості числа? Звичайно, якщо брати скільки завгодно доданків, то можна отримати будь-яке число: парні числа виходять шляхом складання двійок, а не парні шляхом складання однієї трійки і декількох двійок. Але жив в Росії в XVIII столітті математик Гольдбах, який вирішив складати непарні прості числа лише попарно. Він виявив дивовижну річ: кожен раз йому вдавалося представити парне число у вигляді суми двох простих чисел. Ось ці розкладання для двозначних чисел: 4 = 1 +3, 6 = 1 +5, 8 = 1 +7, 10 = 3 +7, 12 = 5 +7, 14 = 3 +11, 16 = 3 +13, 18 = 5 +13, 20 = 3 +17, 22 = 11 +11, 24 = 11 +13, 26 = 13 +13, 28 = 23 +5, 30 = 23 +7, 32 = 19 +13, 34 = 17 +17, 36 = 17 +19, 38 = 19 +19, 40 = 37 +3, 42 = 37 +5, 44 = 37 +7, 46 = 23 +23, 48 = 47 +1, 50 = 47 +3, 52 = 47 +5, 54 = 47 +7, 56 = 53 +3, 58 = 53 +5, 60 = 53 +7, 62 = 31 +31, 64 = 61 +3, 66 = 61 +5, 68 = 61 +7, 70 = 67 +3, 72 = 67 +5, 74 = 37 +37, 76 = 73 +3, 78 = 73 +5, 80 = 73 +7, 82 = 41 +41, 84 = 41 = 43, 86 = 43 +43, 88 = 87 +1, 90 = 87 +3, 92 = 87 +5,94 = 87 +7, 96 = 89 +7, 98 = 97 +1. Про своє спостереження Гольдбах написав великому математику XVIII століття Леонарду Ейлеру, який був членом Петербурзької академії наук. Перевіривши ще багато парних чисел, Ейлер переконався, що всі вони є сумами двох простих чисел. Але парних чисел нескінченно багато. З цього обчислення Ейлера давали надію на те, що властивість, що помітив Гольдбах, мають всі числа. Проте спроби довести, що це завжди буде так, ні до чого не привели. Двісті років математики міркували над проблемою Гольдбаха. І тільки радянському вченому Івану Матвійовичу Виноградову вдалося зробити вирішальний крок. Він встановив, що будь-яке досить велике натуральне число є сумою трьох простих чисел. Але число, починаючи з якого вірне твердження Виноградова, неймовірно велике. За цим поки що, на жаль, немає надії навіть за допомогою самих кращих ЕОМ перевірити, чи є вірним це твердження для всіх інших чисел.
II. ФУНКЦІЯ 1. Функція Функція Теорема Ейлера. При зростанні х до ¥ відношення Справді, з нерівностей (4) дістаємо
А звідси, оскільки У першій сотні натуральних чисел міститься 25 простих чисел, тобто прості числа становлять 25%. У першій тисячі натуральних чисел є 169 простих чисел (16,9%); серед перших десяти тисяч натуральних чисел є 1229 простих чисел (12,29%); серед перших ста тисяч натуральних чисел 9522 простих числа (9,592%). Таблиці простих чисел показують, що при зростанні х процент простих чисел на відрізку [1, х] зменшується. Проте цей факт сам по собі невиключає того, що при як завгодно великому х прості числа, що належать відрізку [1, х], все-таки становлять не менш ніж, наприклад, 0,0000001% від числа всіх натуральних чисел відрізка [1, х]. Теорема Ейлера свідчить про те, що цього не може бути: при зростанні х до ¥ «середня щільність»
9. Асимптотичний закон розподілу простих чисел Нерівності Чебишова вперше дали змогу судити про характер зростання функції π(х) при зростанні х. Результати Чебишова в дослідженні функції π(х) привели математиків до висновку, що при х→¥ відношення π(х): 0,95695 < π(х): А в 1896 р. французький математик Адамар і бельгійський математик Валле Пуссен за допомогою апарата теорії функцій комплексної змінної незалежно один від одного довели існування границі відношення π(х):
Якщо при х →¥ відношення Отже, π(х) µ Теорему про те, що Адамар і Валле Пуссен, власне, довели, що π(х) µ Дослідження Рімана, Адамаре і Валле Пуссена показали, що за величиною абсолютної похибки функція Із встановленням асимптотичного закону розподілу простих чисел дослідження характеру зростання функції π(х) не припинилися. Дальші зусилля математиків були спрямовані на якомога точнішу оцінку модуля різниці між π(х) і Вище ми зазначали, що при доведенні асимптотичного закону розподілу простих чисел Адамар і Валле Пуссен використовували зовнішні для теорії чисел методи теорії функцій комплексної змінної. Сам же асимптотичний закон належить виключно до натуральних чисел. Тому математикам здавалося природним шукати таке доведення цього закону, в якому не використовувалися б сторонні для теорії чисел ідеї. Пошуки такого доведення успішно закінчилися порівняно недавно: у 1949 р. норвезький математик А. Сальберг і угорський математик II. Ердеш опублікували доведення асимптотичного закону, в якому вони оперували тільки з натуральними числами. 10. Таблиці Гаусса Ми вже знаємо, що перший десяток вміщує в собі чотири простих числа (2, 3, 5, 7). В першій сотні міститься 25 простих чисел. Для визначення цієї кількості Гаусс ввів відому нам наступну функцію Зрозуміло, що число Ми знаємо, що є 168 простих чисел, менших 1000. Їх частку становить
Це число говорить нам, що 16,8% чисел між 1 і 1000 є простими. Інші 83,2% являють собою складені числа. Додамо цей третій стовпчик в таблицю (див. Додаток B, табл. 2). Ми бачимо, що доля простих чисел зменшується. Це важливий, хоч і досить передбачуваний факт. Число є простим, коли воно не ділиться на жодне число з тих, які підуть перед ним. Наприклад, щоб число 11 було простим, воно не повинно ділитися ні на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ні на 10. Але Гаусс, звичайно, не думав, що звідси випливає, що прості числа в кінці кінців, закінчаться, так як прекрасно знав про існування основної теореми алгебри, за допомогою якої Евклід довів, що кількість простих чисел нескінченна. У Гаусса третій стовпчик таблиці містив не значення На цій таблиці видно, що, наприклад, серед перших ста чисел одне із чотирьох – просте, а в першій тисячі – одне із шести, і так далі. Це звичайно приблизна оцінка. Таблиця не гарантує, що серед першої сотні кожне четверте число – просте, що можна легко перевірити за допомогою решета Ератосфена. Таким чином, наведена вище таблиця лише вказує приблизну вірогідну відстань між простими числами.
ВИСНОВКИ
В ході даної роботи я розглянув та вивчив основні властивості простих чисел аналізуючи доступні мені джерела, розглянув деякі приклади застосування теорем, алгоритмів для пошуку простих чисел. Основними властивостями простих чисел є: - Множина простих чисел нескінченна; - Будь – яке натуральне число більше 1 можна представити у вигляді добутку простих чисел і таке представлення є єдиним з точністю до порядку множників. - Якщо р - просте, і аb ділиться на р, то а ділиться на р або b ділиться на р. - Будь-яке натуральне число n більше 1 ділиться хоча б на одне просте число. - Якщо р – просте число і якщо Також ознайомився з властивостями чисел Мерсенна: - Будь-який дільник числа - Кожне парне досконале число має вигляд Викладений матеріал може бути використаний при вивченні курсу алгебри та теорії чисел, зокрема при розв’язанні математичних задач та як основа для спецкурсів(розрахованих на магістрантів та студентів старших курсів). Також не малопомітним було те, що прості числа мають багато цікавих властивостей. Наприклад, різниця деяких простих чисел дорівнює 2, тому вони будуть числами-близнятами. Прості числа становлять одну із найважливіших тем, яка повертає нас до самого початку математики, а потім, по мірі зростання важкості, приводять на край сучасної науки. Окрім того, що прості числа становлять з себе одну з найцікавіших тем математики, вони дуже корисні в нашому житті. На їхніх властивостях побудовані секретні коди, які захищають електронну пошту, банківські операції, кредитні картки і мобільний телефонний зв’язок. Прості числа досліджували багато вчених – математиків, вони хотіли віднайти формулу, завдяки якої могли згенерувати прості числа, але жодному не вдалося. Можна сказати, що пошук простих чисел, пошук формули, щоб згенерувати їх – як шкідливий вірус, якщо він захвачує розум математика, то його дуже важко викоренити. Історію простих чисел порівнюють з історією поразок і невдач, але прекрасних невдач, які привели до появи нових теорій, свіжих поглядів і передових рубежів. Також прості числа важливі не лише в криптографії (банківські операції, кредитні картки, електронна пошта, мобільний телефонний зв’язок), а й самому житті. Вони відграють велику роль у характері людини, особливостях її долі, ставленні до навколишнього світу, суспільства. Велику роль прості числа займають і в різних прислів’ях, приказках, повір’яхта казках, в яких величезної популярності здобули числа 2, 3, 7 і 13. Вивчення простих чисел потрібні для розв’язування різноманітних задач, які часто трапляються в завданнях олімпіад, конкурсів та вікторин. Піфагор був правий: «Світом керують числа».
СПИСОК ДЖЕРЕЛ
1. Алгебра и начала анализа: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред.А. Н. Колмогорова. — 12-е изд.— М.: Просвещение, 2002. — 384 с. 2. Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО «Изд. дом “ОНИКС 21 век”», 2003. — 672 с.3. Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.4. Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344 с. 5. Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.6. Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. — 495 с.7. Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 430 с.8. Мордкович А. Г. Наибольшее и наименьше значения величин. — М.:Школа-Пресс, 1995. — 144 с.9. Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами: Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.10. Саушкін О. Ф. Розв’язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ. Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб. на составление уравнений: Учеб. рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.
|
-1 і 65516468 
, де p – довільне ціле число, зване показником. Ці числа вабили математиків з найдавніших часів, орієнтовно з Евкліда (приблизно 300 рік до нашої ери), правда, до XVI століття вчені вважали, що всі ці числа прості, тобто діляться тільки на себе і одиницю. Це, звичайно ж, неправильно – досить поглянути на четверте число Мерсенна: воно дорівнює 15 і подається у вигляді добутку 3 і 5.
-1 повинні бути простими для показників 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 і складеними для всіх інших цілих чисел, що не перевищують 257. Звідки взялася така гіпотеза, достовірно невідомо – сучасники вагаються, що Мерсенн міг розібрати всі ці випадки вручну, та й він сам, кажуть, це визнавав. Втім, ця гіпотеза стала популярною вже після смерті автора. Так часто буває з деякими математичними твердженнями – по абсолютно незрозумілій причині вони опиняються в центрі уваги безлічі математиків. Можливо, на руку їй зіграла, як і у випадку з легендарною теоремою Ферма, простота формулювання. Як би там не було, але з рядом Мерсенна вчені розібралися тільки в середині XX століття – тоді вони встановили, що список показників, які дають прості числа Мерсенна і не перевищуючих 257, виглядає наступним чином: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 і 127. Це і є перші 12 простих чисел Мерсенна. До речі, простоту числа Мерсенна для показника 61 (воно дорівнює 2 305 843 009 213 693 951) довів російський математик Іван Первушин в 1878 році.
. Теорема Ейлера.
прямує до нуля
простих чисел на відрізок [1, х] стає меншою від будь-якого числа e > 0.
прямує до 1. Як зазначалось вище, Чебишов довів, що коли при х→¥ границя відношення π(х): 
додатних функцій f(x) і g(x), визначених для дійсних додатних значень х, прямує до 1, тобто 
то функції f(x) і g(x) називають асимптотично рівними і записують f(x) µ g(x).
.
дає більш точне наближення до π(х), ніж 
істотних результатів в цьому напрямку досягли радянські математики М. Г. Чудаков, І. М. Виноградов, М. М. Коробов.
. Символ, який використовується в цій формулі, більш відоме як число пі, але в даному контексті він не має цього математичного змісту. Потім Гаусс побудував таблицю з двома стовпчиками. В лівому він записав степені числа 10, а в правому – значення функції 
(див. Додаток B, табл. 1).
буде збільшуватися, але як саме, ми не знаємо. Додамо до таблиці ще один стовпчик, що показує частку простих чисел, менших заданого числа. Для цього вирахуємо відношення 
.
, а обернені їм 
(див. Додаток B, табл. 3).
і відомо, що р 
n, 
n=p або n=-p.
для простого p має вигляд 2pk+1, де k — ціле число.
, де число Мерсенна 
