Момент инерции относительно оси, параллельной центральной (теорема Штейнера)

 

Теорема Штейнера:

Момент инерции относительно оси, параллельной центральной, равен центральному осевому моменту инерции плюс произведение площади всей фигуры на квадрат расстояния между осями.

Для прямоугольника высотой h и шириной b:

Осевой момент инерции:

Момент сопротивления изгибу:

момент сопротивления изгибу равен отношению момента инерции к расстоянию наиболее удаленного волокна от нейтральной линии:

т.к. , то

 

Для круга:

Полярный момент инерции:

Осевой момент инерции:

Момент сопротивления кручению:

Т.к. , то

Момент сопротивления изгибу:

 

 

2. План выполнения расчетно-графической работы «Геометрические характеристики плоских сечений»

 

2.1. Выписать следующие справочные данные из раздела 3:

 

· для равнобокого уголка /пример обозначения №4 (4)

b – ширина полки,

F – площадь поперечного сечения,

z ₀ – координата центра тяжести,

- осевой момент инерции сечения,

- центробежный момент инерции

 

· для неравнобокого уголка /пример обозначения №4/2,5 (4)

B – ширина большей полки,

b – ширина меньшей полки,

F – площадь поперечного сечения,

x₀, y₀ – положение центра тяжести

, - осевые моменты инерции сечения,

- центробежный момент инерции

 

· для швеллера

h – высота,

b – ширина полки,

F – площадь поперечного сечения,

z ₀ – координата центра тяжести,

, - осевые моменты инерции сечения

 

· для двутавра

h – высота,

b – ширина полки,

F – площадь поперечного сечения,

, - осевые моменты инерции сечения

 

· для полосы

- вычислить площадь поперечного сечения

- вычислить осевые моменты инерции сечения по формулам

,

 

2.2. На миллиметровой бумаге формата А4 в выбранном Вами масштабе начертить сечение, составленное из стандартных профилей, пронумеровать: №1 – уголок, №2 – швеллер или двутавр, №3 – полоса.

 

2.3. Выбрать положение координатных осей. Рационально, если одна из осей проходит через центр тяжести одной из фигур, и все оставшиеся координаты центров тяжести будут положительными.

Определить положение центра тяжести сечения по формулам:

,

Нанести положение центра тяжести на чертеж.

 

2.4. Определить расстояния:

· между центральной осью сечения y_c и осью y_c1, проходящей через центр тяжести уголка

Если , то b₁, будет со знаком «-»

· между центральной осью сечения y_c и осью y_c2, проходящей через центр тяжести швеллера (или двутавра)

Если , то b₂, будет со знаком «-»

· между центральной осью сечения y_c и осью y_c3, проходящей через центр тяжести полосы

Если , то b₃, будет со знаком «-»

· между осями x_c и x_c1

Если , то a₁, будет со знаком «-»

· определить a₂ и a₃

 

2.5. Вычислить с помощью теоремы Штейнера осевые моменты инерции сечения по формулам:

 

,

 

где - осевой момент инерции для уголка (указан в справочнике)

- осевой момент инерции швеллера или двутавра (указан в справочнике)

- осевой момент инерции для полосы вычислить по формулам:

или

в зависимости от расположения полосы по отношению к оси 0x_c3. Размер стороны, перпендикулярной оси 0x_c3, берется в третьей степени (в кубе). Аналогично для осевых моментов неравнобокого уголка, швеллера или двутавра – значение осевого момента из справочника берется большее, если большая сторона перпендикулярна оси 0x, и, соответственно, меньшее, если меньшая сторона перпендикулярна оси 0x

F₁, F₂, F₃ – площади поперечных сечений.

 

 

где - осевой момент инерции для уголка (указан в справочнике). Для равнобокого уголка . Для неравнобокого уголка выбирается меньшее значение, если большая сторона уголка перпендикулярна оси 0x_c1, а меньшая сторона уголка перпендикулярна оси 0y_c1.

- осевой момент инерции швеллера или двутавра (указан в справочнике). Большее или меньшее значение зависит от расположения стандартного профиля по отношению к оси.

- осевой момент инерции для полосы

 

Центробежный момент инерции сечения:

 

где - центробежный момент инерции для уголка (берется из справочника). При расположении уголка в I и III четверти декартовой системы координат знак у центробежного момента «-», во II и в IV четверти – знак «+».

 

 

Знаки a₁, b₁, a₂, b₂, a₃, b₃ учитываются.

 

- центробежный момент инерции для швеллера или двутавра.

 

- центробежный момент инерции для полосы.

 

2.6. Вычислить значение угла поворота α;:

 

Если значение угла α; положительное – оси поворачиваются против часовой стрелки.

 

2.7. Вычислить значение главных осевых моментов инерции

 

 

2.8. Заполнить таблицу №1.