C.10.5. Лекция 5 (1час) Понятие рекурсии, примеры рекурсивных задач и программ с рекурсивными вызовами процедур и функций.

В математике рекурсией называется способ описания функций или процессов через самих себя.

Широкое проникновение рекурсивных методов в практику программиро­вания началось с распространения универсального языка программирования АЛГОЛ-60, допускающего рекурсивное обращение к процедурам. Рекурсия отражает существенную характерную черту a6cтpaктнoro мышления, проявляющуюся при анализе сложных алгоритмических и структурных конструкций в самых различных приложениях. Пользуясь рекурсией, мы избавляемся от необходимости утомительного последовательного описания конструкции и ограничиваемся выявлением взаимосвязей между различными уровнями этой конструкции.

В последнее время в связи с широким распространением прикладных программ, не связанных с проведением расчетов, бытует взгляд на рекурсию как на интересное, но необязательное украшение системы программирования. Даже в некоторых последних книгах по Турбо Паскалю не находится места для описания рекурсии.

Если процедура или функция входе выполнения вызывает саму себя, то мы имеем дело с рекурсией. Такой вызов процедур или функций может возникнуть либо вследствие рекурсивного описания, либо вследствие рекурсивного обращения. Рекурсивное описание предполагает, что в исполняемой части блока процедуры или функции присутствует обращение к ней самой. Примером рекурсивного описания может служить функция вычисления факториала:

Function Factorial (N: Integer): Integer;

Begin

if N =1 Then Factorial:= 1

Else Factorial:=N*Factoirial(N-1);

End.

Здесь Factorial(N) определяет через значение Frictorial(N-i), которое определяется через Factorial(N*2), и т.д. до сведения к значению Factorial(O), которое определено явно и равно 1. Любое рекурсивное описание должно содержать явное определение для некоторых значений аргумента (или аргументов), так как иначе процесс сведения оказался бы бесконечным. Таким образом при рекурсивном описании необходимо наличие базовой части описания, которая обеспечивала бы завершение рекурсивных вызовов функции (процедуры).

Рекурсивное обращение можно рассмотреть на примере вычисления определенного двойного интеграла по формуле трапеций. Точность этого приближения тем выше, чем больше число участков разбиения п. Увеличивая число п, можно достигнуть заданной точности. Если, допустим, функция TRAP вычисляет интеграл по методу трапеций при заданном числе интервалов N и А, В - пределы интегрирования, a FN - функция вычисления подынтегрального выражения, вычисление двойного интеграла можно осуществить с помощью следующего рекурсивного обращений к функции TRAP:

J:=TRAP (N1, A1, B1_, TRAP (N2, A2, B2, FN));

Ниже приведена рекурсивная функция, предназначенная для вычислений наибольшего общего делителя двух целых чисел N1 и N2.