E.2.1. Векторы

1. Даны натуральные числа n, a ₁,..., a_n. Определить количество членов a _k последовательности a ₁,..., a_n:

а) являющихся нечетными числами;

б) являющихся квадратами четных чисел;

в) кратных 3 и не кратных 5;

г) удовлетворяющих условию ;

д) удовлетворяющих условию ;

е) имеющих четные порядковые номера и являющихся нечетными числами.

2. Даны натуральные числа n, q ₁ ,..., q _n. Найти те члены q_i последовательности q ₁ ,..., q_n, которые

а) являются удвоенными нечетным числами;

б) при делении на 7 дают остаток 1, 2 или 5;

в) обладают тем свойством, что корни уравнения действительны и положительны.

3. Дано натуральное число n. Получить сумму тех чисел вида , которые являются утроенными нечетными.

4. Даны целые числа a ₁ ,..., a ₅₀. Получить сумму тех чисел данной последовательности, которые

а) кратны 5;

б) нечетны и отрицательны;

в) удовлетворяют условию .

5.Даны натуральное число n, целые числа a₁,..., a_n. Найти количество и сумму тех членов данной последовательности, которые делятся на 5 и не делятся на 7.

6. Даны натуральные числа n, p, целые числа a₁,..., a_n. Получить произведение членов последовательности a ₁ ,..., a_n, кратных p.

7. Даны целые числа p, q, a ₁ ,..., a ₆₇ (). В последовательности a ₁ ,..., a ₆₇ заменить нулями члены, модуль которых при делении на p дает в остатке q.

8.Даны натуральное число n, действительные числа a ₁ ,..., a_n. Получить удвоенную сумму всех положительных членов последовательности a ₁ ,..., a_n.

9.Даны натуральное число n, действительные числа a ₁ ,...,a_n. Вычислить обратную величину произведения тех членов a_i последовательности a₁,..., a_n, для которых выполнено i+1 < a_i < i!.

10.Даны натуральное число n, действительные числа a ₁ ,...,a_n. В последовательности а ₁ ,..., a_n все отрицательные члены увеличить на 0.5, а все не отрицательные заменить на 0.1.

11.Даны натуральное число n, действительные числа x ₁ ,...,x_n. В последовательности x ₁ ,...,x_n все члены, меньшие двух, заменить нулями. Кроме того, получить сумму членов, принадлежащих отрезку [3,7], а также число таких членов.

12. Даны натуральное число n, действительные числа a ₁ ,..., a_n. В последовательности a₁,..., a_n все неотрицательные члены, не принадлежащие отрезку [1, 2], заменить на единицу. Кроме того, получить число отрицательных членов и число членов, принадлежащих отрезку [1, 2].

13. Даны натуральное число n, целые числа a ₁ ,..., a_n. Получить сумму положительных и число отрицательных членов последовательности a ₁ ,..., a_n.

14. Даны натуральное число n, целые числа a₁,..., a_n. Заменить все большие семи члены последовательности a ₁ ,..., a_n числом 7. Вычислить количество таких членов.

15.Даны целые числа . Получить число отрицательных членов последовательности и число нулевых членов всей последовательности .

16.Пусть . Даны: неотрицательное целое n, действительные a, b, c, d, q . Принадлежит ли интервалу ?

17.Даны: натуральное число n, целые числа a, ..., . Если в последовательности ..., есть хотя бы один член, равный a, то получить сумму всех членов, следующих за первым таким членом; в противном случае ответом должно быть число 10.

18. Даны: натуральное число n, действительные числа a, b, ,..., . Верно ли, что при всякий раз, когда ,выполнено ?

19.Даны целые числа ,..., . Получить последовательность ,..., , которая отличается от исходной тем, что все нечетные члены удвоены.

20. Вычислить , где

если i нечетное,   в противном случае;

если i нечетное,   в противном случае.

21. Даны натуральные числа n, ,..., . Вычислить , где

если x кратно 3, если x при делении на 3 дает остаток 1 в остальных случаях

22.Даны натуральное число n, действительные числа r, ,..., . Сколько среди точек (, ),...,(, ), (, ) таких которые принадлежат кругу радиуса r с центром в начале координат?

23. Даны целые числа а, n, ,..., (n >0). Определить, каким по счету идет в последовательности ,..., член, равный а. Если такого члена нет, то ответом должно быть число 0.

24. Даны натуральное число n, действительные числа ,..., . Получить:

а)	б)
в)	г)
д)	е)
ж) +	з) -

25. Даны натуральное число n, действительные числа .

a) Верно ли, что отрицательных членов в последовательности больше чем положительных?

б) Верно ли, что наибольший член последовательности по модулю больше единицы?

26.У прилавка в магазине выстроилась очередь из n покупателей. Время обслуживания продавцом i -го покупателя равно (i= 1 ,..., n). Пусть даны натуральное число n и действительные . Получить , где c_i - время пребывания i - го покупателя в очереди (i= 1 ,..., n). Указать номер покупателя, для обслуживания которого продавцу потребовалось самое малое время.

27. В некоторых видах спортивных состязаний выступление каждого спортсмена независимо оценивается несколькими судьями, затем из всей совокупности оценок удаляются наиболее высокая и наиболее низкая, а для оставшихся оценок вычисляется среднее арифметическое, которое и идет в зачет спортсмену. Если наиболее высокую оценку выставило несколько судей, то из совокупности оценок удаляется только одна такая оценка; аналогично поступают с наиболее низкими оценками.

Даны натуральное число n, действительные положительные числа (n 3). Считая, что числа - это оценки, выставленные судьями одному из участников соревнований, определить оценку, которая пойдет в зачет этому спортсмену.

28. Даны натуральное число n, действительные числа . Получить и .

29. Дано натуральное число n. Найти наибольшее среди чисел (k= 1 ,..., n), а также сумму всех этих чисел.

30. Даны натуральное число n, целые числа . Найти:

а) наименьшее из четных чисел, входящих в последовательность a ₁ - 1, a₁,..., a_n;

б) наибольшее из нечетных и количество четных чисел, входящих в последовательность a₁,..., a_n, a _n+1.

31.Даны натуральное число n, действительные числа ,..., . Получить все натуральные числа j , для которых .

32. Пусть i= 3, 4 ,.... Среди найти ближайшее к какому-нибудь целому.

33.Пусть i =2, 3,.... Получить .

34.Пусть i= 1, 2 ,.... Дано натуральное n. Среди найти все положительные числа, среди положительных выбрать наименьшее число.

35.Пусть ; k = 2, 3,.... Найти сумму квадратов тех чисел , которые не превосходят двух.

36. Даны натуральное число n, действительные числа . В последовательности определить число соседств:

а) двух положительных чисел;

б) двух чисел разного знака;

в) двух чисел одного знака, причем модуль первого числа должен быть больше модуля второго числа.

37.Даны целые числа . Имеются ли в последовательности :

а) два идущих подряд нулевых члена;

б) три идущих подряд нулевых члена?

38.Даны натуральное число n, действительные числа . Последовательность чисел определяет на плоскости n квадратов со сторонами, параллельными координатным осям: так , - координаты центра первого квадрата, - длина его стороны; аналогично числа , , определяют второй квадрат, , , - третий и т.д. Имеются ли точки, принадлежащие всем квадратам? Если да, то указать координаты одной из них.

39. Даны натуральное число n, действительные числа . Вычислить сумму чисел ,..., , которые превосходят по величине все числа .

40.Даны действительные числа a, b (a<b), натуральное число n, функция y=f (x), определенная на отрезке [a, b]. Для значений аргумента (i = 0, 1,..., n), вычислить значения функции

(i=0, 1,..., n). Вывести и (i=0, 1,..., n)в виде таблицы из двух колонок. В i -ю строку таблицы заносятся соответствующие значения и . Рассмотреть следующие функции:

а) , n= 50;

б) , a=- 1, b= 2, n= 30;

в) a= 0, b= 2 , n= 50;

г) , a=- 1, b= 3, n= 40;

д) a=- 3, b= 5, n= 40.

41.Рассматривается последовательность ,..., . Требуется определить, сколько членов последовательности с номерами 1, 2, 4, 8, 16,... имеют значение, меньшее, чем 0.25. При этом считать, что

а) , k= 1, 2,..., 1000;

б) ,..., - заданные действительные числа;

в) =0.01; , k= 2,..., 1000.

42. Даны натуральное число n, действительные числа . Получить (1+r)/(1+s), где r - сумма всех тех членов последовательности , которые не превосходят 1, а сумма s - сумма всех членов, больших 1.

43. Даны натуральное число n, действительные числа . Найти:

а) где		при ç yi ç£2, в противном случае;
б) где		при ç yi ç>1, в противном случае;
в) , где		при , в противном случае;
г) где		при 0<ç yi ç<10, в противном случае;
д) где		при ç yi ç<1, в противном случае;

44.Даны целые числа , ,... Известно, что >0 и что среди , ,... есть хотя бы одно отрицательное число. Пусть ,..., - члены данной последовательности, предшествующие первому отрицательному члену (n заранее не известно). Получить:

а)

б)

в)

г)

д)

е) количество четных среди ,..., ;

и) количество квадратов нечетных чисел среди ,..., ;

ж) количество удвоенных нечетных среди ,..., ;

з) количество полных квадратов среди ,..., .

45. Дано натуральное число n. Получить все натуральные делители.

46. Дано натуральное число n. Получить все такие натуральные q, что n делится на и не делится на .

47. Даны натуральные числа m, n. Получить все их натуральные общие кратные, меньше mn.

48.Даны целые числа m, n (m 0, n 0). Получить все их общие делители (положительные и отрицательные).

49.Даны натуральное числа n, действительные числа ,..., . Выяснить, является ли последовательность ,..., упорядоченной по убыванию.

51.Даны натуральное число n, действительные числа ,..., . Найти длину наименьшего отрезка числовой оси, содержащего числа ,..., .

52. Даны действительные числа x, . Выяснить, во-первых, верно ли, что , и, во-вторых, верно ли, что , где - наименьшее, а - наибольшее среди . (Какие комбинации ответов на первый и второй вопросы возможны?)

53. Даны натуральное число n, действительные числа а, ,..., (). Получить последовательность , членами которой являются члены последовательности ,..., и значение а, такую, что .

54.Даны натуральное число n, целые числа ,..., . Оставить без изменения последовательность ,..., , если ее члены упорядочены по не убыванию или по не возрастанию. В противном случае получить подпоследовательность ,..., (m>n), где m таково, что либо и , либо и .

55. Даны натуральное число n, действительные числа а, ,..., . Получить в порядке следования все , удовлетворяющие неравенствам .

56. Даны натуральное число n, целые числа ,..., .

а) Выяснить, какое число встречается в последовательности ,..., раньше - положительное или отрицательное. Если все члены последовательности равны нулю, то сообщить об этом.

б) Найти номер первого четного члена последовательности ,..., ; если четных членов нет, то ответом должно быть число 0.

в) Найти номер последнего нечетного члена последовательности ,..., ; если нечетных членов нет, то ответом должно быть число n+1.

57. Даны натуральное число n, целые числа ,..., , ,..., , ,..., . Верно ли, что отрицательный член в последовательности ,..., встречается раньше, чем в последовательностях ,..., и ,..., ? Предполагается, что каждая из последовательностей содержит хотя бы один отрицательный член.

58. Дано натуральное число n, действительные числа ,..., . Выяснить, образуют ли возрастающую последовательность числа:

а) ,...,

б) ,..., ,

в) ,..., ,