Метод касательных

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на [a, b]. Пусть на [a, b] есть корень и только один, т. е. f(a)*f(b)<0, график функции проходит через точку A(a, f(a)), B(b, f(b)) и f’(x), f’’(x) знакопостоянны на [a, b].

В точке B(b, f(b)) проводим касательную. Уравнение касательной запишется так:

Для нахождения точки пересечения этой прямой с осью Ox нужно принять y=0, а x=x₁, тогда получаем:

0=f(b)+f’(b)(x₁-b)

f’(b)(x₁-b)=- f(b)

Если касательная проведена в точку B(b, f(b)), то получаем x₁, найдя значение x₁ по формуле, вычислим x₁ и найдём точку B₁(x₁, f(x₁)), тогда

Процесс продолжается неограниченно. x₁,…, x_n являются приближёнными значениями корня.

Замечание. Для того, чтобы точка пересечения касательной с осью Ox лежала внутри [a, b] касательную надо проводить через тот конец отрезка [a, b], где знак функции и второй производной совпадают.

Методами математического анализа можно доказать, что последовательность x₁,…, x_n есть последовательность приближённых значений корня, она монотонна, сходится и её предел равен истинному значению корня, процесс закончить, когда |x_n+1-x_n|< ε;.

 

f(x)=x³-28x+48=0, [3;7], ε=0,01

Метод половинного деления:

c₁=(a+b)/2=5, [3;5] [5;7]

f(3)·f(5)<0 – подходит;

f(5)·f(7)>0 – не подходит,

т.к. f(3)=-9, f(5)=33, f(7)=195

Имеем отрезок [3;5]

c₂=4, [3;4], [4;5]

т.к. f(4)=0, c₂=4 – искомый корень.

Метод хорд:

Точка пересечения хорды с осью

c₁=a-((f(a)·(b-a)/(f(b)-f(a)))=3-((-9·(7-3))/(195+9))=3,088, [3;3,088] [3,088;7]

f(3)·f(3,088)>0 – подходит;

f(3,088)·f(7)<0 – не подходит,

т.к. f(3)=-9, f(3,088)=-9,016, f(7)=195

c₂=c₁-((f(c₁)·(b- c₁)/(f(b)-f(c₁)))=3,088-((-9,016·(7-3,088))/(195+9,016))=3,262,

[3,088;3,262] [3,262;7]

f(3,088)·f(3,262)>0 – подходит;

f(3,262)·f(7)<0 – не подходит,

т.к. f(3,088)=-9,016, f(3,262)=-8,594, f(7)=195

c₃=3,425, [3,262;3,425] [3,425;7]

f(3,262)·f(3,425)>0 – подходит;

f(3,425)·f(7)<0 – не подходит,

т.к. f(3,262)=-8,594, f(3,425)=-7,686, f(7)=195

c₄=3,565, [3,425;3,565] [3,565;7]

f(3,425)·f(3,565)>0 – подходит;

f(3,565)·f(7)<0 – не подходит,

т.к. f(3,425)=-7,686, f(3,565)=-6,461, f(7)=195

c₅=3,679, [3,565;3,679] [3,679;7]

f(3,565)·f(3,679)>0 – подходит;

f(3,679)·f(7)<0 – не подходит,

т.к. f(3,565)=-6,461, f(3,679)=-5,204, f(7)=195

c₆=3,766, [3,679;3,766] [3,766;7]

f(3,679)·f(3,766)>0 – подходит;

f(3,766)·f(7)<0 – не подходит,

т.к. f(3,679)=-5,204, f(3,766)=-3,977, f(7)=195

c₇=3,835, [3,766;3,835] [3,835;7]

f(3,766)·f(3,835)>0 – подходит;

f(3,835)·f(7)<0 – не подходит,

т.к. f(3,766)=-3,977, f(3,835)=-2,897, f(7)=195

c₈=3,886, [3,835;3,886] [3,886;7]

f(3,835)·f(3,886)>0 – подходит;

f(3,886)·f(7)<0 – не подходит,

т.к. f(3,835)=-2,897, f(3,886)=-2,056, f(7)=195

c₉=3,923, [3,886;3,923] [3,923;7]

f(3,886)·f(3,923)>0 – подходит;

f(3,923)·f(7)<0 – не подходит,

т.к. f(3,886)= -2,056, f(3,923)=-1,524, f(7)=195

c₁₀=3,944, [3,923;3,944] [3,944;7]

f(3,923)·f(3,944)>0 – подходит;

f(3,944)·f(7)<0 – не подходит,

т.к. f(3,923)= -1,524, f(3,944)=-1,157, f(7)=195

c₁₁=3,958, [3,944;3,958] [3,958;7]

f(3,944)·f(3,958)>0 – подходит;

f(3,958)·f(7)<0 – не подходит,

т.к. f(3,944)= -1,157, f(3,958)=-0,781, f(7)=195

c₁₂=3,972, [3,958;3,972] [3,972;7]

f(3,958)·f(3,972)>0 – подходит;

f(3,972)·f(7)<0 – не подходит,

т.к. f(3,958)= -0,781, f(3,972)=-0,589, f(7)=195

c₁₃=3,979,

т.к. |c₁₃-c₁₂|=0.007< ε, c₁₃=3,979 – искомый корень.

Метод касательных:

f(x)=x³-28x+48=0, [3;7], ε=0,01

f’(x)=3x²-28

c₀=7,

c₁=c₀-f(c₀)/f’(c₀),

f(7)=195,

f’(7)=119,

c₁=7-195/119=5,361;

f(5,361)=51,911,

f’(5,361)=58,189,

c₂=5,361-51,911/58,189=4,47;

f(4,47)=12,155,

f’(4,47)=31,943,

c₃=4,09;

f(4,09)=1,898,

f’(4,09)=22,184,

c₄=4,004;

f(4,004)=0,080,

f’(4,004)=20,096,

c₅=4

т.к. |c₅-c₄|=0.004< ε, c₅=4 – искомый корень.

program lab1

real a, b, e, x

real f

f(x)=x**3-28.*x+48.

a=3.

b=7.

e=0,01

do while (asb(b-a)>=e)

x=(b-a)/2.

if (f(x)==0.) exit

if (f(a)*f(x)<0.) then

b=x

else

a=x

end if

end do

write (*,*) ‘x=’,x

read (*,*)

end program lab1