Примеры на использование аксиом и теоремы умножения

Определить вероятность поражения цели двумя ракетами, если вероятность поражения каждой равна 0,9. Поражение первой (событие А) и второй ракетой (событие В) есть события независимые.
Событие «поражение цели двумя ракетами» есть сумма А+В. Представим ее в виде трех несовместных событий

Согласно аксиоме сложения вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей каждого. Тогда

Согласно следствию 1 из аксиомы 4 вероятность противоположного события равна 1 за вычетом вероятности прямого события
;
а согласно теореме умножения для независимых событий их совместное появление равно произведению вероятностей

Подставляя числовые значения, получим
.
Можно решить эту задачу иначе. Непоражение цели есть событие противоположное событию А+В, то-есть
и тогда
Используя следствие 1, получим тот же результат.

 

1.12 Независимые случайные события и их свойства

Будем считать, что дано фиксированное вероятностное пространство .

Определение 1. Два события независимы, если

Вероятность появления события A не меняет вероятности события B.

Замечание 1. В том случае, если вероятность одного события, скажем , ненулевая, то есть , определение независимости эквивалентно:

то есть условная вероятность события при условии равна безусловной вероятности события .

Определение 2. Пусть есть семейство (конечное или бесконечное) случайных событий , где — произвольное индексное множество. Тогда эти события попарно независимы, если любые два события из этого семейства независимы, то есть

Определение 3. Пусть есть семейство (конечное или бесконечное) случайных событий . Тогда эти события совместно независимы, если для любого конечного набора этих событий верно:

Замечание 2. Совместная независимость, очевидно, влечет попарную независимость. Обратное, вообще говоря, неверно.

Пример 1. Пусть брошены три уравновешенные монеты. Определим события следующим образом:

· : монеты 1 и 2 упали одной и той же стороной;

· : монеты 2 и 3 упали одной и той же стороной;

· : монеты 1 и 3 упали одной и той же стороной;

Легко проверить, что любые два события из этого набора независимы. Все же три в совокупности зависимы, ибо зная, например, что события произошли, мы знаем точно, что также произошло.

Теорема (сложение вероятностей несовместных случайных событий). Вероятность суммы двух несовместных случайных событий и равна сумме вероятностей этих событий.

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Теорема. Для произвольных событий и

 

1.13 Независимость случайных событий в совокупности