Дискретные вероятностные пространства

Если множество элементарных исходов конечно или счетно: , то соответствующее вероятностное пространство называется дискретным. В случае дискретных вероятностных пространств событиями обычно считают все возможные подмножества . В этом случае для задания вероятности необходимо и достаточно приписать каждому элементарному исходу число так, чтобы их сумма была равна 1. Тогда вероятность любого события задается следующим образом:

Важным частным случаем такого пространства является классический способ задания вероятностей, когда количество элементарных исходов конечно и все они имеют одинаковую вероятность. Тогда вероятность любого события определяется как отношение его мощности (т.е. количества элементарных исходов, благоприятствующих данному событию) к общему числу элементарных исходов:

.

Однако всегда необходимо помнить, что для того, чтобы применять данный способ, необходимо убедиться в том, что элементарные исходы действительно равновероятны. Это должно либо быть сформулировано как исходное условие, либо этот факт следует строго вывести из имеющихся начальных условий.

Вероятность, определяемая формулой называется дискретной вероятностью.

 

1.6 Классическое определение вероятности.
Как было сказано выше, при большом числе n испытаний частота P*(A)=m/n появления события A обладает устойчивостью и дает приближенное значение вероятности события A, т.е. .

Это обстоятельство позволяет находить приближенно вероятность события опытным путем. Практически такой способ нахождения вероятности события не всегда удобен. В ряде случаев вероятность события удается определить до опыта с помощью понятия равновероятности событий (или равновозможности).

Два события называются равновероятными (или равновозможными), если нет никаких объективных причин считать, что одно из них может наступить чаще, чем другое.

Так, например, появления герба или надписи при бросании монеты представляют собой равновероятные события.

Рассмотрим другой пример. Пусть бросают игральную кость. В силу симметрии кубика можно считать, что появление любой из цифр 1, 2, 3, 4, 5 или 6 одинаково возможно (равновероятно).

События E1, E2,..., EN в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта должно произойти хотя бы одно из них.

Так, в последнем примере полная группа событий состоит из шести событий — появлений цифр 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

Очевидно, любое событие A и противоположное ему событие образуют полную группу.

Событие B называется благоприятствующим событию A, если наступление события B влечет за собой наступление события A.

Так, если A — появление четного числа очков при бросании игральной кости, то появление цифры 4 представляет собой событие, благоприятствующее событию A.

Пусть события E1, E2,..., EN в данном опыте образуют полную группу равновероятных и попарно несовместных событий. Будем называть их исходами испытания. Предположим, что событию A благоприятствуют M исходов испытания. Тогда вероятностью события A в данном опыте называют отношение M/N. Итак, мы приходим к следующему определению.

Вероятностью P(A) события в данном опыте называется отношение числа M исходов опыта, благоприятствующих событию A, к общему числу N возможных исходов опыта, образующих полную группу равновероятных попарно несовместных событий:

 

Это определение вероятности часто называют классическим. Можно показать, что классическое определение удовлетворяет аксиомам вероятности.

Пример 1. На завод привезли партию из 1000 подшипников. Случайно в эту партию попало 30 подшипников, не удовлетворяющих стандарту. Определить вероятность P(A) того, что взятый наудачу подшипник окажется стандартным. (Решение)

Пример 2. В урне 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Из урны вынимают сразу два шара. Какова вероятность р того, что оба шара окажутся белыми? (Решение)

Пример 3. В урне 2 зеленых, 7 красных, 5 коричневых и 10 белых шаров. Какова вероятность появления цветного шара? (Решение)

 

1.7 Геометрическое определение вероятности

вероятность случайного события есть отношение площади области, благоприятствующей появлению события, к площади всей области

Пусть случайное испытание можно представить себе как бросание точки наудачу в некоторую геометрическую область G (на прямой, плоскости или пространстве). Элементарные исходы – это отдельные точки G, любое событие – это подмножество этой области, пространства элементарных исходов G. Можно считать, что все точки G «равноправны» и тогда вероятность попадания точки в некоторое подмножество пропорционально его мере (длине, площади, объему) и не зависит от его расположения и формы.

Геометрическая вероятность события А определяется отношением:
,
где m(G), m(A) – геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов и события А.

Пример. На плоскость, разграфленную параллельными полосами шириной 2d, расстояние между осевыми линиями которых равно 2D, наудачу брошен круг радиуса r (). Найти вероятность того, что круг пересечет некоторую полосу.

 

1.8 Аксиоматическое определение вероятности. Вероятностное пространство

Под операциями над случайными событиями в аксиоматической теории вероятностей понимаются операции над соответствующими множествами. В результате можно установить взаимное соответствие между терминами языка теории множеств и языка теории вероятностей [23].

В качестве аксиом, определяющих вероятность, А.Н. Колмогоровым приняты следующие утверждения:

Аксиома 1. Каждому случайному событию А поставлено в соответствие неотрицательное число P (A), называемое его вероятностью.
Аксиома 2. P(Ω)= 1.
Аксиома 3 (аксиома сложения). Если события A₁, A₂,...,A_n попарно несовместимы, то

P(A₁ + A₂ +...+ A_n) = P(A₁) + P(A₂) +...+ P(A_n).

Следствиями сформулированных аксиом являются следующие утверждения.

1. Вероятность невозможного события равна нулю: P(∅) = 0.
2. Для любого события А
P() = 1 - P(A).
3. Каково бы ни было случайное событие А, 0 ≤ P(A) ≤ 1.
4. Если событие А влечет за собой событие В, то P(A) ≤ P(B).

Вероятностным пространством принято называть тройку символов {Ω, Θ, P}, где Ω – множество элементарных событий ω, Θ – σ – алгебра подмножеств Ω, называемых случайными событиями, и P(A) - вероятность, определенная на σ – алгебре Θ.

 

1.9 Основные свойства вероятностей

Нормировка вероятности:

0 ≤ p (A) ≤ 1 для любого события A

Вероятность противоположного события:

Для независимых событий A и B:

p (A и B) = p (A) p (B)

 

p (A или B) = p (A) + p (B)

Условная вероятность:

p (AB) = p (B) · p (A | B)

Формула полной вероятности:

p (B) = p (B | A 1) p (A 1) + p (B | A 2) p (A 2) + p (B | A 3) p (A 3) +… + p (B | Ak) p (Ak)

Основные свойства вероятности. Пусть задано пространство элементарных событий Е, а вероятности Р определены на событиях из Е. Тогда:

 

1.10 Условные вероятности и их свойства

Условной вероятностью события при условии, что событие произошло назовем отношение .

Это определение эквивалентно так называемой теореме умножения, согласно которой , т.е. вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при условии, что первое событие наступило.

Два события и называются независимыми, если .

Построение классической вероятности основано на правилах сложения и умножения вероятностей, следствия которых имеют следующие интерпретации на вероятностных деревьях:

1. , где и - несовместные события

Рис. 12

2.

 

Рис. 13

Назовем произведение весом ветви, проходящей через корень дерева и вершины, соответствующие событиям .

Интерпретацией теорем сложения и умножения на вероятностных деревьях служит дерево исходов, соответствующее "благоприятному" событию. Рядом с каждым ребром такого дерева запишем вероятность исхода, соответствующего конечной вершине этого ребра при условии выполнения произведения всех исходов, соответствующих вершинам пути от корня дерева до данной вершины.

 

1.11 Теоремы умножения вероятностей

Вероятность совместного появления двух событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго при условии, что первое произошло. P(AB) = P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B)

Доказательство. По классическому определению вероятности одновременного появления (любых) двух событий (А и В) она равна отношению количества случаев, в которых эта пара появлялась, к общему количеству равновозможных элементарных случаев. Пример – четное число на грани игральной кости (nAB/ n)

Отсюда можно сформулировать:
Зависимы те события, для которых Р(В) не равно Р(А/В).
Независимы те события, для которых Р(В) = Р(А/В).
Следствие 1

Если появление события В не зависит от появления события А, то и появление события А не зависит от события В:

Р(В) = Р(В/А); Р(АВ) = Р(А)xР(В/А) = Р(В)xР(А/В); Р(А) = Р(А/В).
Следствие 2

Если события А и В независимы, то вероятность их совместного появления равнася произпроизведению их вероятностей

Р(АxВ) = Р(А)xР(В).
Следствие 3

Для любого числа независимых событий А1, А2, А3, … Р(А1xА2xА3x…) = Р(А1)xР(А2)xР(А3)x…