Независимость в совокупности.

Если мы рассматриваем произведение трех и более случайных событий, можно говорить о независимости в совокупности: в этом случае вероятность произведения любого количества любых случайных событий равна произведению их вероятностей.

Независимость в совокупности является более сильным требованием, чем попарная независимость. Следующий пример показывает, что не всегда из попарной независимости событий следует независимость в совокупности.

Замечание. Из взаимной (попарной) независимости не следует независимость в совокупности.

Затем мы вычисляем вероятность тройного произведения случайных событий и показываем то, что независимости в совокупности нет (вероятность тройного произведения не равна тройному произведению вероятностей).

Определение 3. Пусть есть семейство (конечное или бесконечное) случайных событий . Тогда эти события совместно независимы, если для любого конечного набора этих событий верно:

Замечание 2. Совместная независимость, очевидно, влечет попарную независимость. Обратное, вообще говоря, неверно.

 

1.14 Формула полной вероятности и формула Байеса

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

Формулировка

Пусть дано вероятностное пространство , и полная группа попарно несовместных событий , таких что . Пусть — интересующее нас событие. Тогда

.

Замечание

Формула полной вероятности также имеет следующую интерпретацию. Пусть — случайная величина, имеющая распределение

.

Тогда

,

т.е. априорная вероятность события равна среднему его апостериорной вероятности.

1.15 Последовательные независимые испытания. Схема Бернулли

Предположим, что производится n независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить некоторое событие A. Пусть при каждом испытании вероятность наступления события А равна P(A)=p и, следовательно, вероятность противоположного события (ненаступления А) равна . Определим вероятность Pn(m) того, что событие А произойдет m раз при n испытаниях. При этом заметим, что наступления или ненаступления события А могут чередоваться различным образом. Условимся записывать возможные результаты испытаний в виде комбинаций букв А и . Например, запись означает, что в четырех испытаниях событие осуществилось в 1-м и 4-м случаях и не осуществилось во 2-м и 3-м случаях.

Всякую комбинацию, в которую А входит m раз и входит n-m раз, назовем благоприятной. Количество благоприятных комбинаций равно количеству k способов, которыми можно выбрать m чисел из данных n; таким образом, оно равно числу сочетаний из n элементов по m, т.е.

Подсчитаем вероятности благоприятных комбинаций. Рассмотрим сначала случай, когда событие A происходит в первых m испытаниях и, следовательно, не происходит в остальных n-m испытаниях. Такая благоприятная комбинация имеет следующий вид:

Вероятность этой комбинации в силу независимости испытаний (на основании теоремы умножения вероятностей) составляет

 

Так как в любой другой благоприятной комбинации Вi событие A встречается также m раз, а событие происходит n-m раз, то вероятность каждой из таких комбинаций также равна . Итак

Все благоприятные комбинации являются, очевидно, несовместными. Поэтому (на основании аксиомы сложения вероятностей)

Следовательно,

(13)

 

или, так как

, то

 

(13')

Формула (13) называется формулой Бернулли *.

1.16 Последовательные независимые испытания до первого «успеха»