Расчет частотных характеристик электрических цепей.

MATLAB и его пакеты расширения ориентированы прежде всего ориентированы на цифровую обработку сигналов, поэтому функции, связанные с расчетом аналоговых цепей, рассматриваются как вспомогательные. В основном они предназначены для вызова из других функций, использующих аналоговые прототипы при синтезе цифровых фильтров. Однако и сами эти функции могут быть весьма полезны.

Прежде всего, рассмотрим математическое описание линейных систем, частотные характеристики которых нам необходимо исследовать. Такие линейные системы можно представить в виде четырехполюсника с двумя входными и двумя выходными зажимами (рис.6):

Рис.6

В общем случае, существуют различные эквивалентные способы представления характеристик линейных систем, реализуемых в виде цепей с сосредоточенными параметрами. Но наиболее распространенным является описание с помощью комплексного коэффициента передачи, который представляет собой отношение комплексных выходного и входного напряжений:

где - передаточная АЧХ; - передаточная ФЧХ.

В не зависимости от параметров электрической цепи, для линейных систем комплексный коэффициент передачи всегда может быть представлен в виде:

где , – некоторые постоянные коэффициенты, определяемые параметрами цепи. Необходимо также отметить, что максимальный порядок многочлена числителя не может превышать максимального порядка многочлена стоящего в знаменателе, т.е. .

Если мы введем мнимый аргумент и подставим в выражение для комплексного коэффициента передачи, то получим выражение для передаточной функции линейной системы:

Порядок многочленов в числителе и знаменателе и , а также постоянные коэффициенты , непосредственно зависят от реализации электрической схемы четырехполюсника и могут быть найдены различными способами: с помощью законов Кирхгофа, методов контурных токов, узловых напряжений в комплексной форме или других методов расчета цепей синусоидального тока. Далее мы рассмотрим на конкретном примере, как получить передаточную функцию, а сейчас же сосредоточим внимание на реализацию расчета и построения АЧХ и ФЧХ в MATLAB.

Предположим, что линейная система задается передаточной функцией:

Тогда расчет в MATLAB не взывает труда:

w=0:0.1:10;

s=j*w;

b=[1 3 3 1];

a=[1 -3 4 -2 1];

H=polyval(b,s)./polyval(a,s);

subplot(2,1,1); plot(w,abs(H)); grid on;

subplot(2,1,2); plot(w,angle(H)*180/pi); grid on;

Результатом работы этого скрипта будет графическое окно с графиками, показанными на рис. 7. Верхний – АЧХ, нижний – ФЧХ.

Рис.7

Как видно из рис. 7 ФЧХ имеет разрывы (скачки). Те из них, величина которых равна 180º, действительно являются скачками ФЧХ, а остальные, величина которых составляет 360º, являются «фиктивными». Они возникают из-за того, что результаты вычисления фазы комплексного числа всегда лежа в диапазоне ±180º. Наличие этих многочисленных скачков затрудняет восприятие истинной формы ФЧХ и маскирует скачки «настоящие». Избавиться от лишних разрывов позволяет функция unwrap. Продемонстрируем ее использование:

w=0:0.1:10;

s=j*w;

b=[1 3 3 1];

a=[1 -3 4 -2 1];

H=polyval(b,s)./polyval(a,s);

subplot(2,1,1); plot(w,abs(H)); grid on;

phi=unwrap(angle(H));

subplot(2,1,2); plot(w,phi*180/pi); grid on;

Рис.8

 

Вычисление и построение АЧХ и ФЧХ, можно также осуществить с помощью функции freqs. В простейшем идее она имеет следующий синтаксис:

freqs(b,a)

Здесь b и a – векторы коэффициентов полиномов, соответственно числителя и знаменателя функции передачи. Для расчета характеристики по умолчанию выбираются 200 частот, логарифмически равномерно распределенных в диапазоне от 0,1 до 10. При отсутствии выходных параметров функция freqs строит графики АЧХ и ФЧХ. АЧХ – выводится в логарифмическом масштабе (но без пересчета в децибелы), ФЧХ - градусах. Построим АЧХ и ФЧХ из прошлого примера с помощью функция freqs:

b=[1 3 3 1];

a=[1 -3 4 -2 1];

freqs(b,a);

Рис.9

Чтобы вместо построения графика получить вектор рассчитанных значений комплексного коэффициента передачи, нужно присвоить результат, возвращаемый функцией freqs. В простейшем идее она имеет следующий синтаксис:

H=freqs(b,a);

Если использовать второй выходной параметр, то в нем функция возвратит вектор частот, для которых рассчитаны значения характеристики:

[H,w]=freqs(b,a);

Также можно принудительно задать частоты для анализа – с помощью третьего входного параметра:

H=freqs(b,a,w);

Приведем пример использования функции freq результатом которого будет графики, представленные на рис. 8:

w=0:0.1:10;

b=[1 3 3 1];

a=[1 -3 4 -2 1];

H=freqs(b,a,w);

subplot(2,1,1); plot(w,abs(H)); grid on;

phi=unwrap(angle(H));

subplot(2,1,2); plot(w,phi*180/pi); grid on;

 

 

Приведем пример расчета реальной цепи, представленной на рис. 10

 

Рис.10

 

Комплексные сопротивления для представленной схемы:

 

Для определения передаточной функции воспользуемся методом узловых потенциалов. Для этого запишем систему узловых уравнений:

где соответствующие компоненты определяются как:

Здесь - собственная комплексная проводимость i -узла;

- общая комплексная проводимость между i -м и k -м узлами;

- комплексная проводимость ветвей цепи;

- токи, связанные с узлами

Запишем систем узловых напряжений в виде:

или

Вводя коэффициенты передачи и получим:

Выражая из системы интересующий нас коэффициент передачи, получим:

Итак, имеем для значений =1Ом; =2Ом; =1Ф; =1Гн

Решение всей задачи в MATLAB:

syms R1 R2 C1 L1 s

Z=[R1, R2, 1/(s*C1), s*L1];

Y=1./Z;

YY=[Y(1)+Y(2)+Y(3), -Y(3);

-Y(3), Y(2)+Y(4)];

iu=[Y(1); 0];

KK=YY\iu;

R1=1;R2=2;C1=1;L1=2;

KK=subs(KK);

[n d]=numden(KK(2));

b=sym2poly(n);

a=sym2poly(d);

freqs(b,a);

 

Рис.11