Геометрический смысл

Векторы а и в линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны (лежат на параллельных прямых).

Векторы а,в,с линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны (лежат в одной плоскости)

№41Базис и размерность лин.простр.

Базис

Базис линейного пространства является в частности множеством линейно независимых векторов.

В совокуп.лин.независ.векторов L1,L2,L3,..LN,лин.пространстве L называется базисом лин.простр.

 

№43Евклидово пространство.Неравенство Коши-Буняковского.

Действительное лин.простр.называется евклидовым,если в нем опред.операция скалярного умножения вектора х на у.

Для любым 2ух векторов а и в из Rn справедливо неравенство (а*в)²≤(а*а)(в*в)

А*в-скалярн.произвед

А*а-скалярн.произвед.само на себя

 

№44Длины векторов и угол между векторами в Rn

Длиной вектора х(нормой) в Евклидовом простр.называется |x|=√ X₁²+ x₁² +x₁²…x_n²

Угол между х и у есть cosα= x*y

|x|*|y|

№45Ортогональрный и ортонормированный базис в Rn.Координаты вектора в ортогональном базисе.Процесс ортогонализации.Ортогональные дополнения подпространств.

Отронормир.базис-векторы е1,е2…еn n-мерного простр.евклидова простр.образуют базис,если эти векторы попарно перпенд.и длина каждогоиз них равна 1.ортогональн.-если скалярн.произвед.этих векторов=0 и эти векторы лин.независемы.

№46Прямая и гиперплоскость в n-мерном простр.Угол между гиперплоскостями.Расстояние от точки до гиперплоск.Прямая на плоск.и в простр.Прямая,отрезок,луч в п-мерном простр.Плоскость в трехмерном простр.

Плоскости размерности n-1 называются гиперплоск.

Пусть — нормальный вектор к гиперплоскости, тогда расстояние от точки до этой гиперплоскости даётся формулой

где — произвольная точка гиперплоскости.