Преобразование координат при замене базиса.

Пусть системы векторов e = {e ₁,..., e _n } и f = {f ₁,..., f _n } — два базиса n -мерного линейного пространства L_n.

Обозначим x_e = (x ₁, x ₂,..., x_n) и x_f = (x' ₁, x' ₂,..., x'_n) — координаты вектора x ∈ L_n соответственно в базисах e и f.

Справедливо следующее x_e = C_e→f·x_f:

Здесь C_e→f — матрица перехода от базиса e к базису f, это матрица, столбцами которой являются координаты базисных векторов f₁,..., f _n в базисе e ₁,..., e _n:

f₁ = с ₁₁· e₂ + с ₂₁ · e₁ +... + с_{n 1} · e _n, f₂ = с ₁₂· e₁ + с ₂₂ · e₂ +... + с_{n 2} · e _n, ..., f _n = с _{1 n} · e₂ +... + с_nn · e _n.

Формулу преобразования координат вектора при изменении базиса принято записывать в виде

x_f = (C_e→f)^{− 1}·x_e

ИЛИ

Пусть в -мерном линейном пространстве выбран базис , который мы будем для удобства называть "старый" и другой базис , который мы будем называть "новый". Возьмем призвольный вектор из . Его координатный столбец в старом базисе обозначим , а в новом -- . Нам нужно выяснить, как связаны друг с другом координаты в старом и в новом базисе. Для этого нам сначала нужно "связать" друг с другом старый и новый базисы. Запишем разложения новых базисных векторов по старому базису

Составим матрицу, столбцами которой служат координатные столбцы векторов нового базиса

Эта матрица называется матрицей перехода от старого базиса к новому.