Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса.

Пусть V – линейное пространство, А – линейный оператор из , и – два базиса в V и – формулы перехода от базиса к базису . Обозначим через матрицу перехода от базиса к базису. Отметим, что ранг матрицы С равен n. Пусть и – матрицы оператора А в указанных базисах.

Теорема 7.1. Матрицы А и оператора А в базисах и связаны соотношением .

Доказательство. При воздействии линейного оператора А вектор пространства переводится в вектор этого пространства, т.е. справедливо равенство

= А (7.3)

(в старом базисе) и равенство

= А (7.4)

(в новом базисе). Так как – матрица перехода от старого базиса к новому, то

(7.5)

(7.6)

Умножим равенство (7.5) слева на матрицу , получим А = АC и с учетом (7.3) = АC . Заменив левую часть полученного выражения в соответствии с (7.6), получим: С = АC или = С ^–1 АC . Сравнивая найденное выражение с равенством (7.4), получим доказываемую формулу.

Отсюда следует, что определитель матрицы линейного оператора не зависит от базиса

……………………..

Как уже отмечалось, в пространстве Rⁿ существует множество различных базисов.

Пусть и — двабазиса в Rⁿ.

Обозначим и координаты векторов и из Rⁿ и матрицу оператора A соответственно в базисах и , а — матрица перехода от базиса к базису , т.е.

,

,

Тогда

откуда имеем

— формулы преобразования матрицы линейного оператора при изменении базиса.

 

Матрицей линейного оператора в базисах e, f называется матрица A, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов базиса e в базисе f, A = { a _{i j} } = { A (e _j) _i }:

Координаты образа y = A (x) и прообраза x связаны соотношеннием:

y = A · x,