ЗАНЯТИЕ 4

Тема: ОПЕРАЦИИ НАД ТЕНЗОРАМИ

п.1. Связь между компонентами тензора с различными строениями индексов.

 

Задача 1. Показать, что если компоненты метрического тензора, то компоненты тензора преобразуются в компоненты со смешанным строением индексов по формуле:

Решение. Покажем, что с лева и с права стоят компоненты одного и того же тензора. Образуем линейные комбинации:

1) =

Поэтому, если верно, то должны получить тот же тензор

2) = = = =

Требуемое показано. Задача 1 – пример «жонглирования» индексами.

Задача 2. Матрица компонент тензора 2-го ранга имеет вид:

, метрическая матрица () равна

. Определить матрицу компонент .

 

Решение. Осуществив «жонглирования» индексами, имеем

Порядок индексов матрицы () несущественен. В результате произведения матриц находим искомую:

= =()

Матрица определяет компоненты тензора в базисе

Задача 3. Представить все формы записи тензоров 3-го ранга, используя тензорные произведения 3-х базисных векторов.

Решение.

= = = = = =

= = .

 

п.2. Тензорное (внешнее) произведение тензоров есть тензор, ранг которого равен сумме рангов сомножителей, а компоненты произведению компонент сомножителей. В частном случае диада - тензорное произведение двух векторов.

Пусть = , . Тензорное произведение = - тензор 5-го ранга.

Задача 4. Представить различные формы записи тензорного произведения вектора и тензора второго ранга

 

Решение.

= = = = = =

= = = .

п.3. Сложение тензоров определяется только для тензоров одной валентности; компоненты суммы определяются как сумма компонент слагаемых с одинаковым строением индексов.

Задача 5. Показать, что если и компоненты тензора, то комплекс + не компонента тензора.

Решение. Используя правила преобразования компонент тензора. Получим

+ = +

-это противоречит правилу преобразования компонент тензора.

п.4. Скалярное произведение тензоров вычисляется следующим образом:

× = = ( ) = =

= .

 

Скалярное произведение тензоров – тензор, ранг которого меньше суммы рангов сомножителей на два.

 

Задача 6. Доказать, что × = , где = .

 

Решение.

× = = = =

 

п.5. Двойное скалярное произведение вычисляется следующим образом:

: = : = ( )( )= =

 

Следом тензора называют двойное скалярное произведение тензора и метрического тензора. Обозначение следа:

 

Sp = tr = : .

 

 

Дополнительные задачи:

1. Найти выражение следа тензора второго ранга через его компоненты.

2. Записать различные формы представления скалярного произведения 2-х тензоров 2-го ранга.

3. Доказать, что × = × =

4. По определению степени тензора = × , = × , Выразить компоненты , через компоненты тензора второго ранга.

5. Вычислить : , - тензор 2-го ранга.

6. Доказать, что : = :

7. Вычислить Sp , Sp , тензор 2-го ранга.

Решение.

 

1. Sp = tr = : = = .

2. Аналогично п.3.

3. Аналогично Задаче 6, доказываем × = и следовательно × = = × .

4. Так как тензор второго ранга, следовательно, -тензор второго ранга, аналогично дополнительной задаче 2.

5. Аналогично : ,

: = ( )( )=…

6. Воспользуемся определением следа тензора Sp = : .

7. Так как тензор второго ранга, следовательно, , -тензора второго ранга. Используя дополнительное задание 4 и определение Sp находится Sp , Sp .

 

План занятия.

8 минут – проверка домашнего задания

 

Решение задач у доски:

Пояснение п.1 (2 минут)

Пояснение п.2 (2 минут)

задача 1 (10 минут)

задача 3 (5 минут)

 

Пояснение п.2 (2 минут)

задача 4 (5 минут)

 

Пояснение п.3 (1 минут)

задача 5 (5 минут)

 

Пояснение п.4 (2 минут)

задача 6 (5 минут)

 

Пояснение п.5 (3 минут)

Решение дополнительных задач:

задача 1 (10 минут)

задача 2 (10 минут)

задача 4 (10 минут)

 

Домашнее задание:

задача 2

Дополнительные задачи 3,5,6,7.

Занятие 5

Тема: СВЕРТКА. АЛЬТЕРНИРОВАНИЕ И СИММЕТРИРОВАНИЕ,ТЕНЗОРНАЯ

ПОВЕРХНОСТЬ. ГЛАВНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ СИММЕТ-РИЧНОГО ТЕНЗОРА 2-го РАНГА

п. 1. Обсуждение дополнительных задач Занятия 4 Решение.

Осуществляя "жонглирование" индексами, получим:

3. Метрический тензор выполняет роль своеобразной"единицы": Действительно,

(см.также задачу 6 занятия 4).

4. Вычисление компонент квадрата и куба тензора 2-го ранга требуется для нахождения его инвариантов. Имеем:

Степени тензора 2-го ранга-тензора того же ранга.

5. Если - тензор 2-го ранга, то - скаляр

(инвариант). Действительно,

б. Аналогично 5 имеем

1. Учитывая предыдущие упражнения, сразу записываем

п.2. Свертка - операция, выполняемая над тензором, компоненты которого имеют по крайней мере один но- и один контравариантный индекс. Свертка тензора по и

это переход к тензору , по и - переход

к тензору . Свертка двух тензоров есть свертка их

тензорного произведения. Например, Свертка по индексам и дает тензор

Задача 1. Показать, что свертка тензора

по индексам и равна _Решение. По определению свертка данного тензора есть вектор . С другой стороны,

п.3. Альтерн ирование и симметрирование тензора- выделение его антисимметричной и симметричной частей. Тензор называется симметрич­ным (антисимметричным) по индексам и , если компоненты его не меняются (изменяют только знак) при перестановке и ; для тензоров 2-го- ранга не имеет смысла указывать, по каким индек­сам симметрия или антисимметрия.

Тождество;

лежит в основе указанных операций для тензоров 2-го ранга.

Задача 2. Матрица компонент тензора имеет вид:

Определить матрицы компонент симметричной и антисимметричной частей тензора.

Решение. Используя тождество, получим:

вправой части равенства находятся искомые матрицы.

Задача 3. Доказать, что свертка симметричного тензора и антисимметричного равна нулю. Рассмотреть случай тензоров 2-го ранга.

Решение. Пусть -симметричный,

антисимметричный тензоры.

Свертка тензорного произ­ведения по обоим индексам равна

(по нет суммирования).

п. 4. Тензорная поверхность симметричного тензора 2 - горан­га в данной точке определяется уравнением:

Квадратичная форма представляет собой сверт-

ку симметричных тензоров и . Здесь

- компонента бесконечного малого вектора в данной точке.

Конец этого вектора лежит на тензорной поверхности - поверхнос­ти 2-гo порядка. В осях, соответствующих главным направлениям, уравнение поверхности приводится к каноническому виду. Единич­ный вектор , определяющий главное направление, удовлетворя­ет соотношению:

Задача 4. Показать, что контравариантные компоненты векто­ра удовлетворяют системе уравнений:

Решение. Имеем

отсюда следует искомая система однородных линейных алгебраичес­ких уравнений.

Условие нетривиальности решения этой системы определяет ха­рактеристическое уравнение

Решением последнего уравнения являются главные значения тензора

. Каждому значению соответствует свое

нетривиальное решение системы Компоненты определяют три главных направления тензора.

Задача 5. Найти главные значения и главные направления тензора в точке, матрица компонент которого

имеет виц:

Решение. Характеристическое уравнение имеет в данном слу­чае виц:

Корни этого уравнения определяют три главных значения ,

Компоненты , соответствую-

щие , определяются из системы;

Первые два уравнения имеют лишь тривиальное ранение, так как детерминант этой однородной системы отличен от нуля (равен 3):

Компоненты , соответствующие , опреде-

ляются из системы:

Получаем , . Компоненты

соответствующие , определяются из системы;

Получаем

Если определен компонентами в декартовой систе-

ме координат, а вектор единичный, то

Вектора главных направлений имеют следующее разложение по нап­равлениям ортов :

Дополнительные задачи.

1. Установить, го каким индексам симметричны или антисим -метричны тензоры, компоненты которых удовлетворяют условиям

2. Доказать, что если тензор с компонентами сим-

метричен по индексам и , антисимметричен по и ,

то он равен нулю.

3.Зная матрицу (см.задачу 5), вычислить

(ответ 3; 21; 73). 4. Характеристическое уравнение можно представить в форме:

где - скалярные инварианты тензора 2-го ранга, имеющие

представления;

Зная матрицу (см.задачу 5), проверить справедливость

этих представлений.

5. Показать, что след антисимметричной части тензора 2-го ранга равен нулю.

6. Найти главные значения и главные направления

З а н я т и е 6 Тема. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА И ТЕНЗОРА ПО КООРДИНАТЕ

В общем случае при переходе от точки к точке изменяются и компоненты вектора (тензора), и величины, и направления базисных векторов.

Задача 1. Исходя из введения коэффициентов связности в равенстве , доказать формулу дифферен-

цирования вектора по координате:

Решение. Дифференцируем инвариантные представления век­тора . Имеем:

переобозначая во втором слагаемом немые индексы (вместо бе­рем , вместо берем ), получаем искомое.

Задача 2. Доказать формулу представления ковариантной производной от ковариантной компоненты вектора

Решение. Пусть . Тогда

Разложим в том же ба8исе, что и

Коэффициенты выражаются черев коэффициенты связности.

Продифференцируем скалярное произведение . Сдругой стороны,

В итоге

где

Задача 3. Показать, что , где - контрава-

риантная компонента вектора есть компонента тензора.

Решение. Образуем свертку по : В новой системе координат левая часть равенства равна:

т.е. представление остается инвариантным и одновременно рас­кладываемым в базисе . Следовательно, компоненты тензора.

Задача 4. Исходя из определения коэффициентов связности (см.задачу 1), вывести формулу дифференцирования компоненты тен­зора 2-го ранга, контравариантной по индексам, по координате

Решение.

Коэффициенты связности выражаются черев компоненты метрическо­го тензора и их производные:

. I

Задача 5. Доказать эту формулу.

Решение. Запишем выражение производных от скалярных функций.

В эвклидовом пространстве можно ввести вектор , поэтому

Вримановом пространстве , Складывая выражение

производных, получим:

Далее, доумножая левую и правую части на и образуя сверт-

ку по (неверно: сокращая на ), получим искомую

формулу.

Задача б. Зная компоненты матриц и ,

найти выражения коэффициентов в случае сферической си-

стемы координат.

Решение. В данном случае

Обе матрицы с нулевыми недиагональными членами, с компонентами, не зависящими от . Поэтому

Присваиваем Ответ.

Дополнительные задачи.

1. Найти выражение ковариантной производной от компоненты тензора 2-го ранга со смешанным строением индексов.

2. Доказать формулу:

3. Доказать формулу:

4. Найти в цилиндрической системе координат.

5. Вычислить ковариантные производные от компонент вектора в сферической системе координат:

3 а н я т и е 7.

Тема: ОСНОВНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ (ГРАДИЕНТ, ДИВЕРГЕНЦИЯ). ФИЗИЧЕСКИЕ КОМПОНЕНТЫ ВЕКТОРА

Представление дифференциальных операторов осуществляется с помощью символического оператора Гамильтона (набла), где

- обозначение ковариантной производной. п.1. Оператор "градиент" (),

Последнее выражение - полиадное произведение. Задача 1. Пусть - скалярная функция

координат. Показать, что - вектор, и определить его

компоненты.

Решение.

- ковариантные компоненты вектора Задача 2. Найти компоненты в декартовой

системе координат ; здесь

Ответ.

Задача 3. Тот же вопрос в случае сферической системы ко­ординат

Решение. Так как скалярная функция, то ковариантная

производная от совпадает с частной, при

ковариантные компоненты имеют вид:

п.2. Оператор "дивергенция" Применяется к тензорным величинам ранга больше нуля. Задача 4. Выразить - вектор, в декартовых

координатах. Решение.

Вуказанных координатах коэффициенты связности равны нулю, по­этому

Задача 5. Выразить , - вектор, в случае

произвольной системы координат. Решение.

Сумма коэффициентов вычисляется по формуле

Вейла:

где

Задача 6. Проверить формулу Вейла в случае ортогональной системы координат.

Решение. В указанном случае имеем:

но в случае ортогональной системы(суммирования

по нет).

Поэтому

Но в случае той же системы равно

Требуемое показано.

Задача 7. Доказать формулу; компоненты вектора.

Решение.

"Немые" "индексы можно обозначить любыми буквами, переобозначим все черев , получим искомое.

Задача 8.