Студопедия — ЗАНЯТИЕ 4
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

ЗАНЯТИЕ 4






Тема: ОПЕРАЦИИ НАД ТЕНЗОРАМИ

п.1. Связь между компонентами тензора с различными строениями индексов.

 

Задача 1. Показать, что если компоненты метрического тензора, то компоненты тензора преобразуются в компоненты со смешанным строением индексов по формуле:

Решение. Покажем, что с лева и с права стоят компоненты одного и того же тензора. Образуем линейные комбинации:

1) =

Поэтому, если верно, то должны получить тот же тензор

2) = = = =

Требуемое показано. Задача 1 – пример «жонглирования» индексами.

Задача 2. Матрица компонент тензора 2-го ранга имеет вид:

, метрическая матрица () равна

. Определить матрицу компонент .

 

Решение. Осуществив «жонглирования» индексами, имеем

Порядок индексов матрицы () несущественен. В результате произведения матриц находим искомую:

= =()

Матрица определяет компоненты тензора в базисе

Задача 3. Представить все формы записи тензоров 3-го ранга, используя тензорные произведения 3-х базисных векторов.

Решение.

= = = = = =

= = .

 

п.2. Тензорное (внешнее) произведение тензоров есть тензор, ранг которого равен сумме рангов сомножителей, а компоненты произведению компонент сомножителей. В частном случае диада - тензорное произведение двух векторов.

Пусть = , . Тензорное произведение = - тензор 5-го ранга.

Задача 4. Представить различные формы записи тензорного произведения вектора и тензора второго ранга

 

Решение.

= = = = = =

= = = .

п.3. Сложение тензоров определяется только для тензоров одной валентности; компоненты суммы определяются как сумма компонент слагаемых с одинаковым строением индексов.

Задача 5. Показать, что если и компоненты тензора, то комплекс + не компонента тензора.

Решение. Используя правила преобразования компонент тензора. Получим

+ = +

-это противоречит правилу преобразования компонент тензора.

п.4. Скалярное произведение тензоров вычисляется следующим образом:

× = = ( ) = =

= .

 

Скалярное произведение тензоров – тензор, ранг которого меньше суммы рангов сомножителей на два.

 

Задача 6. Доказать, что × = , где = .

 

Решение.

× = = = =

 

п.5. Двойное скалярное произведение вычисляется следующим образом:

: = : = ( )( )= =

 

Следом тензора называют двойное скалярное произведение тензора и метрического тензора. Обозначение следа:

 

Sp = tr = : .

 

 

Дополнительные задачи:

1. Найти выражение следа тензора второго ранга через его компоненты.

2. Записать различные формы представления скалярного произведения 2-х тензоров 2-го ранга.

3. Доказать, что × = × =

4. По определению степени тензора = × , = × , Выразить компоненты , через компоненты тензора второго ранга.

5. Вычислить : , - тензор 2-го ранга.

6. Доказать, что : = :

7. Вычислить Sp , Sp , тензор 2-го ранга.

Решение.

 

1. Sp = tr = : = = .

2. Аналогично п.3.

3. Аналогично Задаче 6, доказываем × = и следовательно × = = × .

4. Так как тензор второго ранга, следовательно, -тензор второго ранга, аналогично дополнительной задаче 2.

5. Аналогично : ,

: = ( )( )=…

6. Воспользуемся определением следа тензора Sp = : .

7. Так как тензор второго ранга, следовательно, , -тензора второго ранга. Используя дополнительное задание 4 и определение Sp находится Sp , Sp .

 

План занятия.

8 минут – проверка домашнего задания

 

Решение задач у доски:

Пояснение п.1 (2 минут)

Пояснение п.2 (2 минут)

задача 1 (10 минут)

задача 3 (5 минут)

 

Пояснение п.2 (2 минут)

задача 4 (5 минут)

 

Пояснение п.3 (1 минут)

задача 5 (5 минут)

 

Пояснение п.4 (2 минут)

задача 6 (5 минут)

 

Пояснение п.5 (3 минут)

Решение дополнительных задач:

задача 1 (10 минут)

задача 2 (10 минут)

задача 4 (10 минут)

 

Домашнее задание:

задача 2

Дополнительные задачи 3,5,6,7.


Занятие 5

Тема: СВЕРТКА. АЛЬТЕРНИРОВАНИЕ И СИММЕТРИРОВАНИЕ,ТЕНЗОРНАЯ

ПОВЕРХНОСТЬ. ГЛАВНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ СИММЕТ-РИЧНОГО ТЕНЗОРА 2-го РАНГА

п. 1. Обсуждение дополнительных задач Занятия 4 Решение.

Осуществляя "жонглирование" индексами, получим:

3. Метрический тензор выполняет роль своеобразной"единицы": Действительно,

(см.также задачу 6 занятия 4).

4. Вычисление компонент квадрата и куба тензора 2-го ранга требуется для нахождения его инвариантов. Имеем:

Степени тензора 2-го ранга-тензора того же ранга.

5. Если - тензор 2-го ранга, то - скаляр

(инвариант). Действительно,

б. Аналогично 5 имеем

1. Учитывая предыдущие упражнения, сразу записываем

п.2. Свертка - операция, выполняемая над тензором, компоненты которого имеют по крайней мере один но- и один контравариантный индекс. Свертка тензора по и

это переход к тензору , по и - переход

к тензору . Свертка двух тензоров есть свертка их

тензорного произведения. Например, Свертка по индексам и дает тензор

Задача 1. Показать, что свертка тензора

по индексам и равна _Решение. По определению свертка данного тензора есть вектор . С другой стороны,

п.3. Альтерн ирование и симметрирование тензора- выделение его антисимметричной и симметричной частей. Тензор называется симметрич­ным (антисимметричным) по индексам и , если компоненты его не меняются (изменяют только знак) при перестановке и ; для тензоров 2-го- ранга не имеет смысла указывать, по каким индек­сам симметрия или антисимметрия.

Тождество;

лежит в основе указанных операций для тензоров 2-го ранга.

Задача 2. Матрица компонент тензора имеет вид:

Определить матрицы компонент симметричной и антисимметричной частей тензора.

Решение. Используя тождество, получим:

вправой части равенства находятся искомые матрицы.

Задача 3. Доказать, что свертка симметричного тензора и антисимметричного равна нулю. Рассмотреть случай тензоров 2-го ранга.

Решение. Пусть -симметричный,

антисимметричный тензоры.

Свертка тензорного произ­ведения по обоим индексам равна

(по нет суммирования).

п. 4. Тензорная поверхность симметричного тензора 2 - горан­га в данной точке определяется уравнением:

Квадратичная форма представляет собой сверт-

ку симметричных тензоров и . Здесь

- компонента бесконечного малого вектора в данной точке.

Конец этого вектора лежит на тензорной поверхности - поверхнос­ти 2-гo порядка. В осях, соответствующих главным направлениям, уравнение поверхности приводится к каноническому виду. Единич­ный вектор , определяющий главное направление, удовлетворя­ет соотношению:

Задача 4. Показать, что контравариантные компоненты векто­ра удовлетворяют системе уравнений:

Решение. Имеем

отсюда следует искомая система однородных линейных алгебраичес­ких уравнений.

Условие нетривиальности решения этой системы определяет ха­рактеристическое уравнение

Решением последнего уравнения являются главные значения тензора

. Каждому значению соответствует свое

нетривиальное решение системы Компоненты определяют три главных направления тензора.

Задача 5. Найти главные значения и главные направления тензора в точке, матрица компонент которого

имеет виц:

Решение. Характеристическое уравнение имеет в данном слу­чае виц:

Корни этого уравнения определяют три главных значения ,

Компоненты , соответствую-

щие , определяются из системы;

Первые два уравнения имеют лишь тривиальное ранение, так как детерминант этой однородной системы отличен от нуля (равен 3):

Компоненты , соответствующие , опреде-

ляются из системы:

Получаем , . Компоненты

соответствующие , определяются из системы;

Получаем

Если определен компонентами в декартовой систе-

ме координат, а вектор единичный, то

Вектора главных направлений имеют следующее разложение по нап­равлениям ортов :

Дополнительные задачи.

1. Установить, го каким индексам симметричны или антисим -метричны тензоры, компоненты которых удовлетворяют условиям

2. Доказать, что если тензор с компонентами сим-

метричен по индексам и , антисимметричен по и ,

то он равен нулю.

3.Зная матрицу (см.задачу 5), вычислить

(ответ 3; 21; 73). 4. Характеристическое уравнение можно представить в форме:

где - скалярные инварианты тензора 2-го ранга, имеющие

представления;

Зная матрицу (см.задачу 5), проверить справедливость

этих представлений.

5. Показать, что след антисимметричной части тензора 2-го ранга равен нулю.

6. Найти главные значения и главные направления

З а н я т и е 6 Тема. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА И ТЕНЗОРА ПО КООРДИНАТЕ

В общем случае при переходе от точки к точке изменяются и компоненты вектора (тензора), и величины, и направления базисных векторов.

Задача 1. Исходя из введения коэффициентов связности в равенстве , доказать формулу дифферен-

цирования вектора по координате:

Решение. Дифференцируем инвариантные представления век­тора . Имеем:

переобозначая во втором слагаемом немые индексы (вместо бе­рем , вместо берем ), получаем искомое.

Задача 2. Доказать формулу представления ковариантной производной от ковариантной компоненты вектора

Решение. Пусть . Тогда

Разложим в том же ба8исе, что и

Коэффициенты выражаются черев коэффициенты связности.

Продифференцируем скалярное произведение . Сдругой стороны,

В итоге

где

Задача 3. Показать, что , где - контрава-

риантная компонента вектора есть компонента тензора.

Решение. Образуем свертку по : В новой системе координат левая часть равенства равна:

т.е. представление остается инвариантным и одновременно рас­кладываемым в базисе . Следовательно, компоненты тензора.

Задача 4. Исходя из определения коэффициентов связности (см.задачу 1), вывести формулу дифференцирования компоненты тен­зора 2-го ранга, контравариантной по индексам, по координате

Решение.

Коэффициенты связности выражаются черев компоненты метрическо­го тензора и их производные:

. I

Задача 5. Доказать эту формулу.

Решение. Запишем выражение производных от скалярных функций.

В эвклидовом пространстве можно ввести вектор , поэтому

Вримановом пространстве , Складывая выражение

производных, получим:

Далее, доумножая левую и правую части на и образуя сверт-

ку по (неверно: сокращая на ), получим искомую

формулу.

Задача б. Зная компоненты матриц и ,

найти выражения коэффициентов в случае сферической си-

стемы координат.

Решение. В данном случае

Обе матрицы с нулевыми недиагональными членами, с компонентами, не зависящими от . Поэтому

Присваиваем Ответ.

Дополнительные задачи.

1. Найти выражение ковариантной производной от компоненты тензора 2-го ранга со смешанным строением индексов.

2. Доказать формулу:

3. Доказать формулу:

4. Найти в цилиндрической системе координат.

5. Вычислить ковариантные производные от компонент вектора в сферической системе координат:

3 а н я т и е 7.

Тема: ОСНОВНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ (ГРАДИЕНТ, ДИВЕРГЕНЦИЯ). ФИЗИЧЕСКИЕ КОМПОНЕНТЫ ВЕКТОРА

Представление дифференциальных операторов осуществляется с помощью символического оператора Гамильтона (набла), где

- обозначение ковариантной производной. п.1. Оператор "градиент" (),

Последнее выражение - полиадное произведение. Задача 1. Пусть - скалярная функция

координат. Показать, что - вектор, и определить его

компоненты.

Решение.

- ковариантные компоненты вектора Задача 2. Найти компоненты в декартовой

системе координат ; здесь

Ответ.

Задача 3. Тот же вопрос в случае сферической системы ко­ординат

Решение. Так как скалярная функция, то ковариантная

производная от совпадает с частной, при

ковариантные компоненты имеют вид:

п.2. Оператор "дивергенция" Применяется к тензорным величинам ранга больше нуля. Задача 4. Выразить - вектор, в декартовых

координатах. Решение.

Вуказанных координатах коэффициенты связности равны нулю, по­этому

Задача 5. Выразить , - вектор, в случае

произвольной системы координат. Решение.

Сумма коэффициентов вычисляется по формуле

Вейла:

где

Задача 6. Проверить формулу Вейла в случае ортогональной системы координат.

Решение. В указанном случае имеем:

но в случае ортогональной системы(суммирования

по нет).

Поэтому

Но в случае той же системы равно

Требуемое показано.

Задача 7. Доказать формулу; компоненты вектора.

Решение.

"Немые" "индексы можно обозначить любыми буквами, переобозначим все черев , получим искомое.

Задача 8.







Дата добавления: 2015-10-01; просмотров: 3340. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Понятие метода в психологии. Классификация методов психологии и их характеристика Метод – это путь, способ познания, посредством которого познается предмет науки (С...

ЛЕКАРСТВЕННЫЕ ФОРМЫ ДЛЯ ИНЪЕКЦИЙ К лекарственным формам для инъекций относятся водные, спиртовые и масляные растворы, суспензии, эмульсии, ново­галеновые препараты, жидкие органопрепараты и жидкие экс­тракты, а также порошки и таблетки для имплантации...

Тема 5. Организационная структура управления гостиницей 1. Виды организационно – управленческих структур. 2. Организационно – управленческая структура современного ТГК...

Разработка товарной и ценовой стратегии фирмы на российском рынке хлебопродуктов В начале 1994 г. английская фирма МОНО совместно с бельгийской ПЮРАТОС приняла решение о начале совместного проекта на российском рынке. Эти фирмы ведут деятельность в сопредельных сферах производства хлебопродуктов. МОНО – крупнейший в Великобритании...

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ Сила, с которой тело притягивается к Земле, называется силой тяжести...

СПИД: морально-этические проблемы Среди тысяч заболеваний совершенно особое, даже исключительное, место занимает ВИЧ-инфекция...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.015 сек.) русская версия | украинская версия