Вопрос 1. Затухание колебаний в системах с вязким трением.

1. Амплитуда затухающих колебаний маятника за время t₁ = 5 мин уменьшилась в n₁ = 2 раза. За какое время t₂ амплитуда уменьшится в n₂ = 8 раз?

2. За время t = 8 мин амплитуда затухающих колебаний уменьшилась в 3 раза. Определите коэффициент затухания d. Какова добротность этой колебательной системы, если период колебаний Т = 10 с. Сколько полных колебаний совершит система до полной остановки?

3. Логарифмический декремент затухания маятника равен q = 3×10^-3. Определите число полных колебаний, которое должен совершить маятник, чтобы амплитуда его колебаний уменьшилась в 2 раза.

4. Определите период Т затухающих колебаний системы, если период собственных колебаний Т = 1 с, а логарифмический декремент затухания равен q = 0, 628.

5. Определите добротность маятника, если за время, в течение которого было совершено 10колебаний, амплитуда уменьшилась в 2 раза. Сколько колебаний совершит маятник до остановки? За какое время это произойдет?

6. Энергия затухающих колебаний маятника за время t = 100 с уменьшилась в 100 раз. Определите коэффициент сопротивления среды r, если масса маятника 100 г.

Вопрос 1. Затухание колебаний в системах с вязким трением.

Рассмотрим колебательную систему, в которой действует сила вязкого трения. Примером такой колебательной системы может служить математический маятник, совершающий колебания в воздушной среде.

В этом случае при выведении системы из положения равновесия на маятник будут действовать две силы: квазиупругая сила и сила сопротивления (сила вязкого трения). Второй закон Ньютона запишется следующим образом:

 

Мы знаем, что при малых скоростях сила вязкого трения пропорциональна скорости движения:

 

Знак «-» указывает на то, что сила вязкого трения всегда направлена против скорости движения тела.

Тогда выражение (1) в проекции на ось ОХ, вдоль которой происходят колебания, будет выглядеть следующим образом:

Учтем, что проекция скорости есть первая производная от координаты тела, а проекция ускорения – вторая производная от координаты:

Тогда уравнение (2) примет вид:

Разделив все члены уравнения на m и обозначив

получим уравнение движения в следующем виде:

d - коэффициент затухания, он зависит от коэффициента трения r,

w₀ - циклическая частота идеальных колебаний (в отсутствие трения).

 

Прежде чем решать уравнение (3), рассмотрим колебательный контур. Активное сопротивление катушки включено последовательно с емкостью С и индуктивностью L.

Запишем второй закон Кирхгофа

 

Учтем, что

, , .

Тогда второй закон Кирхгофа примет вид:

 

 

Разделим обе части уравнения на :

 

 

Введем обозначения

 

Окончательно получаем

Обратите внимание на математическую тождественность дифференциальных уравнений (3) и (3’). В этом нет ничего удивительного. Мы уже показывали абсолютную математическую тождественность процесса колебания маятника и электромагнитных колебаний в контуре. Очевидно, процессы затухания колебаний в контуре и в системах с вязким трением происходят тоже одинаково.

 

Решив уравнение (3), мы получим ответы на все поставленные выше вопросы.

 

Уравнение (3) можно привести к уравнению гармонических колебаний, применив подстановку

Тогда уравнение (3) примет вид

Если d² < w₀², то величина w₀² - d² > 0, ее можно обозначить w² = w₀² - d². Получаем знакомое уравнение гармонических колебаний.

Решение этого уравнения нам известно

Тогда для искомого уравнения (3) получаем окончательный результат

Нетрудно видеть, что заряд конденсатора в реальном колебательном контуре будет изменяться по закону

Анализ полученного результата:

 

1. В результате совместного действия квазиупругой силы и силы сопротивления система может совершать колебательное движение. Для этого должно выполняться условие w₀² - d² > 0. Иными словами, трение в системе должно быть невелико.

2. Частота затухающих колебаний w не совпадает с частотой колебаний системы в отсутствие трения w² = w₀² - d² < w₀². С течение времени частота затухающих колебаний остается неизменной.

3. Если коэффициент затухания d мал, то частота затухающих колебаний близка к собственной частоте w₀. При d² ® w₀² частота уменьшается, а период возрастает до бесконечности. При d² >w₀² колебаний не возникает: система, выведенная из положения равновесия, медленно (апериодически) возвращается в положение равновесия.

4.

Амплитуда затухающих колебаний, как это и было предсказано ранее, уменьшается с течением времени.

Это убывание амплитуды происходит по экспоненциальному закону.

5. Если w₀² - d² < 0, то есть трение в системе велико, то уравнение (3) имеет решение вида

где . Непосредственной подстановкой легко убедиться, что функция (4) действительно является решением уравнения (3). Очевидно, что сумма двух экспоненциальных функций не является периодической функцией. С физической точки зрения это означает, что колебания в системе не возникнут. После выведения системы из положения равновесия она будет медленно в него возвращаться. Такой процесс называется апериодическим.

 

 

или

 

 

Вопрос 2. Как быстро затухают колебания в системах с вязким трением?