Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Завдання 1. 1. Дати оцінку розташування органів управління і індикації по висоті (проставити всі необхідні розміри) для роботи оператора:

а) сидячи з оглядом поверх пульта;

б) сидячи;

в) сидячи і стоячи.

 

Рис. 43 Пульт оператора

а - для роботи сидячи з оглядом поверх пульта; б =?* для роботи сидячи; в - для роботи сидячи і стоячи.

Варіант завдання вказується викладачем (див. рис. 43, табл. 34, рис. 37, 38, 39 і 40).
2. Схематично зобразити зони розміщення органів керування та засобів індикації в плані (за завданням викладача); використовувати рис, 43 (а, б, в), табл. 34 і рис, 37, 38, 39, 41 та табл. 35.

 

Таблиця 35.

Просторові сфери діяльності оператора	Умови і характер діяльності оператора
Рабочі зони	Зоны основных движений	Рабочі зони	Інтенсивність моторної діяльності
А-1	Зона легкої доступності та гарного огляду прямо перед собою	А-1, В-1, В-2, С-1, С-2 А-2, В-3, С-3, 0-2, 0-3 г-1, 2-2, 2-3	Частое использо­вание Нечастое исполь­зование
А-2	Зона максимальної досяжності при нерухомих локтях. Одночасно хороший огляд перед собою	А-1 (ближняя часть к оператору) В-1, С-1	При перегрузках
В-1	Предмети, розташовані в цій зоні, вимагають повороту рук в плечі. Голова майже не повертається	А-1, В-2, В-3 (ни­жче рівня плеч)	При роботі тільки за приладами (без зовнішнього огляду)
В-2	Зона порівняно легкої доступності; більша частина зони видно без повороту голови	А-1, А-2, В-2, В-3 1-1, 2-2	Коли потрібна висока гострота зору
В-3	Зона максимальної досяжності; видно без повороту голови	С-1, С-2, С-3 о-2, о-з, г-з	Коли висока гострота зору не обов'язкова
С-1	Зона допоміжних рухів	А-2, В-3, С-3, 0-3 г-1, г-2, 2-з	Натиснуті кнопки
С-\а	Для доступності зони потрібен поворот руки на плечі, для огляду - поворот голови	Ряд зон на 300 мм попереду контрольної точки	Рух рича­гом
С-2	Зона легкої доступності; для огляду потрібен поворот голови	Ряд зон на 50—80 мм впереди конт­рольной точки	Робота пальцями
С-3	Зона максимальної досяжності для оператора низького зростання. Для огляду необхідний поворот голови	А-1, А-2, С-2, 0-2	Робота кисттю
А-1, А-2, В-1, В-2	Тривалі м тонкі маніпуляції
0-2 0-3	У цій зоні огляд неможливий. Тут слід поміщати тільки таке обладнання, кото рим не користуються при звичайній роботі на посту управління	В-3, С-1, С-2, С-3, 0-2, 0-3	Рухи, різні по характеру
А-1, В-2, С-2; 0-2	З застосуванням сили не більше 12 кг ка руку

 

 

Продовження таблиці 35.

Просторові сфери діяльності оператора оператора	Умови і характер діяльності оператора
Робочі зони	Зони основних рухів	Робочі зони	Інтенсивність моторної діяльності
Z- 1 Z- 2 Z- 3	Зони поза межами досяжності. Призначені для приладів, які оператор повинен бачити (в зонах і Х-2 без повороту голови, а в зоні з поворотом). В порядку виключення в зонах можна розміщувати рідко застосо-вані органи управління, але при цьому тулуб має трохи переміщатися в середньому на 300 ±30 мм

 

Завдання П. Оптимізувати траєкторію передвижения.и знайти місцезнаходження приладового щита, користуючись методом графічного розрахунку (див. вище). Функціонально важливі місця визначає викладач (див. рис. 42).

 

Контрольная работа №1

 

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

 

Задача 1. Найти и изобразить область определения следующей функции:

Решение:

Логарифмическая функция определена только при положительном значении аргумента, поэтому , или . Значит границей области определения будет парабола . Кроме того подкоренное выражение должно быть неотрицательным, т.е. . Таким образом, область определения функции состоит из точек, расположенных ниже параболы и справа от оси OY, включая точки на оси OY.

 

Задача 2. Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

Решение:

Подставляем найденные производные в уравнение

Левая и правая части уравнения равны, значит функция удовлетворяет уравнению .

 

Задача 3. Найти производные , сложной функции , ,

Решение:

; ; ; ; ;

;

 

 

 

Задача 4. Найти первые производные неявной функции

Решение:

; ;

 

Задача 5. Найти дифференциалы второго порядка следующей функции (x, y, z – независимые переменные)

Решение:

; ; ;

; ; ;

; ; ;

 

Задача 6. Вычислить приближенное значение функции в точке

Решение:

Имеем , . Положим , . Отсюда

; ;

;

значит

 

Задача 7. Разложить функцию по формуле Тейлора в точке , ограничиваясь членами второго порядка включительно

Решение:

; где – остаточный член формулы Тейлора.

; ; ; ; ; ;

;

; ;

дифференциалы будут равны

;

,

учитывая, что , , получим

 

Задача 8. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке

Решение:

Уравнение касательной плоскости в точке имеет вид ,

а уравнение нормали

Находим значения частных производных

, , ,

отсюда уравнение касательной плоскости будет иметь вид

уравнение нормали

 

Задача 9. Дана функция , точка и вектор . Найти:

1) grad z в точке A;

2) производную в точке A по направлению вектора

Решение:

,

,

Таким образом

Находим единичный вектор

Тогда производная в точке A по направлению вектора будет равна

 

Задача 10. Найти экстремумы функции двух переменных

Решение:

Найдем стационарные точки

В точке функция не существует, таким образом получаем одну стационарную точку

Находим

Так как и , то точка является точкой экстремума, а именно минимума.

Найдем минимум функции

 

Задача 11. Найти экстремумы функции трех переменных

Решение:

Найдем стационарные точки

Таким образом получаем одну стационарную точку

Найдем частные производные второго порядка и вычислим их значения в стационарной точке

; ; ; ; ;

Найдем дифференциал второго порядка

Воспользуемся критерием Сильвестра

; ;

Согласно критерию Сильвестра . Значит, точка является точкой минимума функции . Значение функции в точке минимума

 

Задача 12. Найти условный экстремум функции при уравнении связи , (x >0)

Решение:

Составляем функцию Лагранжа:

Находим точки, в которых возможен условный экстремум

Рассмотрим одновременно два первых уравнения системы в виде

Если решать эту систему относительно переменных и , то, применяя правило Крамера, получим следующее: если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение , . Однако это решение противоречит третьему уравнению исходной системы. Поэтому единственная возможность получить ненулевые решения системы из двух первых уравнений – это приравнять главный определитель системы из двух уравнений нулю:

При

Таким образом получаем критические точки и . Значение функции в этих точках .

При

Таким образом получаем критические точки и . Значение функции в этих точках .

Таким образом, условным минимумом исходной функции является значение , а условным максимумом является значение .

 

Задача 13. Найти наименьшее и наибольшее значение функции в замкнутой области D, заданной системой неравенств

Решение:

Построим область D

 

Найдем стационарные точки внутри области D

Стационарная точка принадлежит области D,

Исследуем границы области D.

Граница . На этой границе

Таким образом наибольшее и наименьшее значение функции z на границе находятся в точках , , . Находим , , .

Граница . На этой границе . . Из уравнения получаем . Таким образом наибольшее и наименьшее значение функции z на границе находятся в точках , , . Находим , .

Граница . На этой границе . . Из уравнения получаем . Таким образом наибольшее и наименьшее значение функции z на границе находятся в точках , , . Находим .

Сравнивая полученные значения , , , , , , , заключаем, что наибольшее и наименьшее значения функции в области D равны соответственно и .

 

Задача 14. Экспериментально получены пять значений функции при пяти значениях аргумента x, которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию вида , выражающую приближенно (аппроксимирующую) функцию . Сделать чертеж, на котором в декартовой прямоугольной системе координат изобразить экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции .

	3,8	4,8	3,5	2,9	1,5

Решение:

		3,8		3,8
		4,8		9,6
		3,5		10,5
		2,9		11,6
		1,5		7,5
Σ		16,5

Получаем систему

Уравнение искомой функции имеет вид .

Построим график

 

Задача 15. Экспериментально получены пять значений функции , которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию вида , аппроксимирующую функцию . Сделать чертеж, на котором в декартовой прямоугольной системе координат изобразить экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции.

	4,1	1,7	1,3	1,2	0,7

Решение:

	1,000	4,100	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	4,100	4,100
	2,000	1,700	0,500	0,250	0,125	0,063	0,031	0,425	0,213
	3,000	1,300	0,333	0,111	0,037	0,012	0,004	0,144	0,048
	4,000	1,200	0,250	0,063	0,016	0,004	0,001	0,075	0,019
	5,000	0,700	0,200	0,040	0,008	0,002	0,000	0,028	0,006
Σ	15,000	9,000	2,283	1,464	1,186	1,080	1,037	4,772	4,385

Получаем систему

Искомая функция имеет вид:

Построим график

 

Задача 16. Найти прямоугольный параллелепипед наибольшего объема при условии, что длина его диагонали равна d.

Решение:

Необходимо найти максимум функции . Известно, что , отсюда . Так как максимум функции будет достигаться там же где максимум функции , то нам необходимо найти максимум функции . Составляем систему уравнений

Так как и , то имеем

Значит

Из первого уравнения системы получаем или , отсюда .

Так как , то .

Прямоугольный параллелепипед с диагональю d будет иметь максимальный объем тогда, когда все его стороны будут равны , т.е. параллелепипед превратится в куб.