СЛОЖЕНИЕ ВЗАИМНОПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ.

 

Рассмотрим случай сложения двух гармонических взаимно-перпендикулярных колебаний одинаковой частоты w, совершающихся вдоль координатных осей х и у. Для простоты, начальный момент времени выберем так, чтобы начальная фаза одного из складываемых колебаний равнялись нулю.

(34)

j – разность фаз между колебаниями х и y.

Для момента времени t₁ положение тела, участвующего в обоих колебаниях, в системе координат (XOY) будет определяться радиус–вектором . В следующий момент t₂, координаты х и y примут новые значения, следовательно, и изменится и по величине, и по направлению. Уравнение траектории движения тела в координатной плоскости ХОY найдем исключив из (34) параметр t:

;

= cos(ωt + φ) = cosωt· cosφ + sinωt·sinφ

 

Т.к. , то с учётом этого получим:

 

 

 

Возведём правую и левую часть последнего равенства в квадрат:

 

.

 

Перенесём в левую часть и вынесем за скобки , получим:

 

. (35)

 

Из курса математики известно, что это уравнение эллипса в общем случае. Ориентация осей эллипса и его размеры зависят от амплитуд А и В складываемых колебаний и разности фаз j.

Рассмотрим некоторые частные случаи формы траектории результирующего движения, представляющие физический интерес:

 

1) j = 0; ;

 

 

2) j = ±p; ;

 

 

3) ;

 

При – движение по траектории по часовой стрелке, если – движении против часовой стрелки.

Если частоты складываемых взаимно–перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектории результирующего движения имеют более сложный вид и называются фигурами Лиссажу.