Колебания, которые совершаются под воздействием переменной силы, называются вынужденными.

Рассмотрим колебания под воздействием вынуждающей силы, изменяющейся по гармоническому закону:

 

F = F_○соsω _в t. (22)

 

С учетом квазиупругой силы (1) и силы сопротивления (13) дифференциальное уравнение вынужденных колебаний запишется:

 

. (23)

Разделив правую и левую часть на m, и обозначив: , , , после перегруппировки слагаемых, получим неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

. (24)

 

Решением этого уравнения будет функция:

 

s = Acos(ω _в t + φ₀). (25)

 

Это уравнение установившихся вынужденных колебаний. Здесь:

, (26)

 

. (27)

 

Как видно из (25), колебания, происходящие под воздействием гармонической вынуждающей силы спустя некоторое время, тоже становятся гармоническими (рис. 6). Их частота равна частоте вынуждающей силы ω _в.

Из выражения (26) для амплитуды видно, что ее значение зависит от соотношения частоты вынуждающей силы ω_в и собственной частоты колебательной системы ω_о. Очевидно, если подкоренное выражение будет минимально, то амплитуда вынужденных колебаний достигнет своего максимального значения. Исследование на экстремум дает: -2(ω₀² – ω_в²) ·2ω_в + 8β²ω_в = 0, ω_в² - ω₀² + 2β² = 0, что будет иметь место, если

 

. (28)

 

Амплитуда при этом достигает значения:

А_рез = . (29)

 

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте колебательной сис-темы получило название резонанса, а соответствующая частота вынуждающей силы – резонансной частотой колебаний.

Приведенные на рис.7 графики, которые называют резонансными кривыми, отличаются значением коэффициента затухания, действующего в колебательной системе. С уменьшением значения β, резонансные кривые становятся все острее, а величина А_рез все больше. Теоретически при β → 0 частота ω_рез→ ω₀, а амплитуда А → ∞.

Как показывает сопоставление (22) и (25), вынужденные колебания тела отстают по фазе от колебаний вынуждающей силы на φ₀. График зависимости φ ₀ от ω_в при различных значениях β приведен на рис.8.

Резонанс может иметь как полезные, так и вредные последствия. В одних случаях он может вызвать разрушение, и это приходится учитывать при конструировании мостов, самолетов, высотных домов. В других случаях, наоборот, стремятся создать условия для резонанса, например, при изготовлении музыкальных инструментов, в радиотехнике и т.д.

Автоколебания (качели, часы, электрический колебательный контур) – незатухающие колебания, поддерживаемые внешним источником энергии. Причем поступление энергии регулируется самой колебательной системой.

Параметрические колебания – это колебания, возбуждаемые путем периодического изменения параметров колебательной системы. Пример: шарик на нити, длина которой периодически меняется.

 

 

5. СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ОДНОГО НАПРАВЛЕНИЯ

 

Возможны случаи, когда тело одновременно участвует в нескольких колебаниях. Например, барабанная перепонка уха одновременно воспринимает колебания от нескольких источников звука – голоса, шум, музыку и т.д. Встает задача получить уравнение результирующего колебания.

Решение данной и ряда других задач колебательного движения значительно облегчается и становится наглядным, если смоделировать колебание с помощью вращающегося вектора. Возьмем ось Х и из точки 0 на ней построим под углом j₀ вектор А (рис. 9). Если привести этот вектор во вращение с постоянной угловой скоростью w, то проекция конца вектора будет перемещаться вдоль оси Х в пределах от -А до +А туда и обратно, т.е. будет совершать колебания относительно точки 0. Длина проекции вектора А в момент времени t будет определяться выражением: х = Аcosj. Как видно из рис.9, j = wt + j₀. Тогда координата конца вектора А (смещение) будетизменяться по гармоническому закону: х = А cos (wt + j₀).

Воспользуемся этой геометрической моделью, чтобы найти уравнение результирующего движения, в простейшем случае – сложении двух гармонических колебаний одного направления и с одинаковыми частотами ω:

(30)

Построим векторные диаграммы этих колебаний – вектора А₁ и А₂ (рис.10). Из рисунка видно, что проекция результирующего вектора А на ось Х:

х = х ₁ + х ₂ = Аcos(wt + j₀). (31)

 

Т.к. вектора А₁ и А₂ вращаются с одинаковыми скоростями ω, то и А будет вращаться с той же скоростью ω, а разность фаз колебаний в процессе движения меняться не будет –

φ₂ – φ₁ = (wt + j_0,2) - (wt + j_0,1) = j_0,2 - j_0,1 = const.

 

Применяя теорему косинусов, из треугольника ОСВ найдем результирующую амплитуду А: А² = А₁² + А₂² – 2А₁А₂ cos β.

Но β = π – (φ₂ – φ₁) = π – (φ₀₂ – φ₀₁), тогда:

 

А² = А₁² + А₂² + 2А₁А₂ cos(φ₀₂ – φ₀₁). (32)

 

Для начальной фазы результирующего колебания φ₀ из ∆ОВD получим:

tg φ₀ = . (33)

 

Как видно из выражения (32) для А возможны три случая:

 

а) φ₀₂ – φ₀₁ = 0; А² = А₁² + А₂² + 2А₁А₂ = (А₁ + А₂)²; А = А₁ + А₂.

 

б) φ₀₂ – φ₀₁ = π; А² = А₁² + А₂² - 2А₁А₂ = (А₁ - А₂)²; А = А₁ - А₂.

 

в) φ₀₂ – φ₀₁ – любое от 0 до π, в этом случае А₁ - А₂ < А < А₁ + А₂.