Колебательный контур. Затухающие электрические колебания.

В данной работе колебательный процесс изучается на примере электрических затухающих колебаний.

В цепи, содержащей катушку индуктивности L и конденсатор емкости С могут возникать электрические колебания, при которых электрические величины (заряды, токи, электрические и магнитные поля) изменяются периодически. Переменное электромагнитное поле распространяется в пространстве со скоростью, равной скорости света (с=3∙10⁸м/с). Поэтому, если линейные размеры контура не слишком велики (, где - частота колебаний в контуре), то можно считать, что в каждый момент времени t сила тока I во всех частях контура одинакова. Такой переменный ток называется квазистационарным. Это позволяет нам использовать тот факт, что мгновенные значения квазистационарных токов подчиняются закону Ома.

Рассмотрим идеализированный контур, сопротивление которого пренебрежимо мало (R=0). Если зарядить конденсатор от батареи до напряжения (рис.1,а), а затем замкнуть переключатель , то конденсатор начнет разряжаться через катушку; в ней появляется ток , создающий магнитное поле (рис.1,б), и в контуре возникнут электромагнитные колебания. Изменение магнитного поля тока приводит к возникновению в цепи электродвижущей силы самоиндукции Е_i, замедляющий быстроту разряда. При уменьшении тока возникает электродвижущая сила, направленная в ту же сторону, что и вызвавший ее появление ток. Это приводит к тому, что после разряда конденсатора ток не прекращается сразу, а в течение некоторого времени продолжает течь в том же направлении и перезаряжает обкладки конденсатора. Затем процесс разряда начинается снова, но протекает теперь в обратном направлении. В результате вторичного перезарядке конденсатора система возвращается в исходное состояние, после чего происходит повторение тех же процессов. Время в течение, которого конденсатор заряжается и разряжается, называется периодом собственных колебаний.

В начальный момент, когда конденсатор полностью заряжен, в нем накоплена электрическая энергия:

, (2.1)

где - максимальное напряжение на конденсаторе.

Во время разряжения конденсатора электрическая энергия превращается в энергию магнитного поля катушки и когда конденсатор полностью разряжен вся электрическая энергия переходит в магнитную:

, (2.2)

где - наибольшая величина тока в контуре.

При перезарядке конденсатора энергия магнитного поля снова превращается в энергию электрического поля. В контуре возникают незатухающие электромагнитные колебания, т.е. периодически изменялись (колебались) бы заряд q на обкладках конденсатора, напряжение U на конденсаторе и сила тока I, текущего через катушку индуктивности.

По второму правилу Кирхгофа для контура при :

, (2.3)

где - напряжение на конденсаторе; - ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке при протекании в ней переменного тока.

, (2.4)

где

, (2.5)

так как , то из (2.4) и (2.5) получаем:

, . (2.6)

 

Подставим последнее выражение в (2.3), получим дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колебаний:

. (2.7)

Решением этого уравнения является:

,

где - амплитудное значение напряжения, которое не зависит от времени; - собственная частота контура, равная:

,

а период собственных незатухающих колебаний:

.

Однако, в реальности проводники контура всегда обладают электрическим сопротивлением, поэтому часть энергии в процессе колебаний расходуется на нагрев проводников. Вследствие этого амплитуда электромагнитных колебаний в контуре постепенно уменьшается, и в нем происходят затухающие колебания. Рассмотрим реальный колебательный контур, содержащий катушку индуктивности L, конденсатор емкостью С и сопротивление R (рис.1,в).

По второму правилу Кирхгофа для такого контура:

(2.8)

где - напряжение на сопротивлении.

Используя соотношения (2.4), (2.5) и (2.6), уравнение (2.8) примет вид:

(2.9)

Дифференциальное уравнение (2.9) описывает затухающие колебания. Его решением является:

, (2.10)

где - коэффициент затухания, - частота затухающих колебаний.

Изменение напряжения на конденсаторе от времени графически представлено на рис.2

Коэффициент затухания равен:

, (2.11)

Циклическая частота затухающих колебаний равна:

(2.12)

при этом

U(t)

и (2.13)

 

		t
	Рис. 2 Изменение напряжения на конденсаторе от времени в колебательном контуре.

 

 

Если (2.8) записать в виде и продифференцировать по времени, то получим уравнение того же типа, что и уравнение (2.9) из чего следует, что ток в контуре также совершает затухающие колебания, для которых значение β, и Т определяется по формулам (2.11), (2.12) и (2.13).

На практике вместо коэффициента затухания β обыкновенно употребляется другая мера затухания, а именно логарифмический декремент затухания (1.20):

 

(2.14)

Из формул (2.12) и (2.13) следует, что в контуре возможны затухающие колебания лишь в том случае, если → (частота и период - действительные величины). Если , то частота и период - мнимые, колебаний нет, и происходит апериодический разряд конденсатора (рис.3). Сопротивление:

(2.15)

называется критическим.

Электрический контур часто характеризуют добротностью Q:

(2.16)

 

где W(t), W(t+T) – энергия контура в моменты времени t и t+T.

Так как энергия W(t) пропорциональна квадрату амплитуды колебаний соответствующей величины, например U, то:

(2.17)

Учитывая периодичность функции косинуса: и производя сокращения в формуле (2.17), получим:

(2.18)

При малых значениях логарифмического декремента затухания величина 1-e^-2λ≈2λ и добротность контура:

(2.19)