Триадная кривая Кох

Кривая была открыта Гельге фон Кох в 1904 году.

Алгоритм построения фрактала:

Задаем начальные условия: берем отрезок единичной длины: это нулевое поколение кривой Кох.

Задаем генератор: это ломаная кривая, состоящая из четырех элементарных отрезков длины r = 1/3.

Получим первое поколение: отрезок единичной длины делим на три части. Среднюю часть отбрасываем и заменяем на ломаную-генератор в соответствующем масштабе. Поскольку на каждом шаге отрезок разбивается на три части, множество называется триадной кривой Кох.

Получим второе поколение: каждое из четырех звеньев делим на три части, среднюю часть выбрасываем и заменяем на генератор.

Итак, для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом. Вам были представлены четыре поколений кривой. При n стремящемся к бесконечности кривая Кох становится фрактальным обьектом.

Легко видеть, что размерность Хаусдорфа данного фрактального образования определяется соотношением: ( - число элементов, - относительный размер элементов).

Результаты показали, что триадная кривая Кох самоподобна, имеет дробную размерность, большую ее топологической размерности. Таким образом, при n стремящемся к бесконечности кривая Кох становится фрактальным объектом. Фрактал представляет изощренную ломаную линию: она уже не линия, но еще и не плоскость.

Фрактальная размерность, показывает насколько плотно линия заполняет плоскость, т.е. характеризует степень скрученности, извилистости линии.

[1 ведущий]