Уравнение в полных дифференциалах.
Определение. Уравнение
называется уравнением в полных дифференциалах, если
причем При выполнении условия (2) левая часть уравнения (1) представляет полный дифференциал некоторой функции Уравнение (1) можно записать в виде
Общее решение этого уравнения будет
где С – произвольная постоянная. Полный дифференциал некоторой функции
т.е. Тогда Дифференцируя 1 ое соотношение по у, а 2 ое по х получим
Т.к. т.е. равенство (2) является необходимым условием для того, чтобы левая часть уравнения (1) была полным дифференциалом некоторой функции Из соотношения При интегрировании по х, у – считали постоянной, поэтому она входит в состав произвольной постоянной. Подберем функцию
Учитывая, что
Итак,
Точка Общее решение уравнения (1) запишем так:
Пример.
Условие
Общее решение
|
(1)
и 
- непрерывные, дифференцируемые функции, для которых выполняется соотношение
, (2)
и 
непрерывны в некоторой области.
.
(3)
,
выражается формулой
,
.
, 
(4)
, 
.
, то 
,
. Покажем, что это условие является и достаточным, т.е. при выполнении условия (2) левая часть уравнения (1) есть полный дифференциал некоторой функции 
.
находим 
, где 
- область решения.
так, чтобы выполнялось второе условие равенства (4). Продифференцируем последнее равенство по у
, 
, можем написать 
или 
, откуда 
или 
.
будет иметь вид
области, в которой существует решение уравнения (1).
выполняется
