Закон Ома в дифференциальной форме

Полезно переписать закон Ома в так называемой дифференциальной форме, в которой зависимость от геометрических размеров исчезает, и тогда закон Ома описывает исключительно электропроводящие свойства материала.

Согласно закону Ома для изотропных материалов плотность тока в среде пропорциональна напряжённости электрического поля и удельной электропроводности среды :

,

где – удельная электропроводность среды (величина, обратная удельному сопротивлению ρ), измеряется в СИ – См/м (сименс на метр).

Все величины, входящие в это уравнение, являются функциями координат и, в общем случае, времени.

Закон Ома можно просто объяснить при помощи теории Друде – Лоренца:

,

где – электрическая удельная проводимость, – концентрация электронов, – элементарный заряд, – время релаксации по импульсам (время, за которое электрон «забывает» о том в какую сторону двигался), – эффективная масса электрона.

1.6. Последовательное и параллельное соединение проводников

Проводники в электрических цепях постоянного тока могут соединяться последовательно и параллельно.

Рис. 4.

При последовательном соединении проводников конец первого проводника соединяется с началом второго и т. д. При этом сила тока одинакова во всех проводниках , а напряжение на концах всей цепи равно сумме напряжений на всех последовательно включенных проводниках. Например, для трех последовательно включенных проводников 1, 2, 3 (рис. 4) с электрическими сопротивлениями , и получим:

По закону Ома для участка цепи

U₁ = IR₁, U₂ = IR₂, U₃ = IR₃ и U = IR, (1)

где R — полное сопротивление участка цепи из последовательно включенных проводников. Из выражения и (1) будем иметь IR = I(R₁ + R₂ + R₃). Таким образом,

R = R₁ + R₂ + R₃. (2)

При последовательном соединении проводников их общее электрическое сопротивление равно сумме электрических сопротивлений всех проводников.

Из соотношений (1) следует, что напряжения на последовательно включенных проводниках прямо пропорциональны их сопротивлениям:

.

Рис. 5.

При параллельном соединении проводников 1, 2, 3 (рис. 5) их начала и концы имеют общие точки подключения к источнику тока.

При этом напряжение на всех проводниках одинаково (U = const), а сила тока в неразветвленной цепи равна сумме сил токов во всех параллельно включенных проводниках (I = I₁ + I₂ + I₃). Для трех параллельно включенных проводников сопротивлениями R₁, R₂ и R₃ на основании закона Ома для участка цепи запишем:

, , (3)

Обозначив общее сопротивление участка электрической цепи из трех параллельно включенных проводников через R, для силы тока в неразветвленной цепи получим

. (4)

Так как,

, (5)

то из выражений (3), (4) и (5) следует, что:

. (6)

При параллельном соединении проводников величина, обратная общему сопротивлению цепи, равна сумме величин, обратных сопротивлениям всех параллельно включенных проводников.

Параллельный способ включения широко применяется для подключения ламп электрического освещения и бытовых электроприборов к электрической сети.

1.7. Гальванометр, амперметр и вольтметр. Схемы их включения

Для измерения сил токов и напряжений в электрических цепях постоянного тока используются специальные приборы – гальванометры, амперметры и вольтметры.

Гальванометр (Г) (от гальвано и метр), высокочувствительный электроизмерительный прибор, реагирующий на весьма малую силу тока или напряжение. Наиболее часто Г. используют в качестве нуль–индикаторов, т. е. устройств для индикации отсутствия тока или напряжения в электрической цепи. Применяют Г. и для измерений малых силы тока и напряжения, определив предварительно постоянную прибора (цену деления шкалы). Различают Г. постоянного и переменного тока.

Цена деления гальванометра это разность ампер (вольт) на шкале (разность значений, соответствующих двум соседним отметкам шкалы).

Чувствительностью гальванометра называют число ампер (вольт) необходимое для отклонения стрелки его на одно деление шкалы.

Рис. 6.

Амперметр предназначен для измерения силы тока в цепи и представляет собой обычный гальванометр, шкала которого проградуирована в амперах. Включается амперметр в цепь последовательно (рис. 6).

В цепи, состоящей из последовательно соединенных проводников, заряд нигде не накапливается и нигде не исчезает. Это значит, что сила тока в такой цепи везде одинакова и амперметр можно включать в любой участок цепи, состоящий из последовательно соединенных проводников.

Амперметр обладает некоторым внутренним сопротивлением . В отличие от вольтметра, внутреннее сопротивление амперметра должно быть достаточно малым по сравнению с полным сопротивлением всей цепи:

Рис. 7.

Вольтметр предназначен для измерения напряжения (разности потенциалов) на участке цепи. Он подключается параллельно участку цепи, на котором производится измерение разности потенциалов.

Включают вольтметр параллельно тем точкам цепи, напряжение между которыми надо измерить (рис. 7). Вольтметр не должен изменять напряжение на измеряемом участке цепи, поэтому сила тока, проходящего через вольтметр, должна быть много меньше, чем сила тока в измеряемом участке.

Для того чтобы вольтметр не вносил заметных искажений в измеряемое напряжение, его сопротивление должно быть большим по сравнению с сопротивлением участка цепи, на котором измеряется напряжение, т.е. .

Итак, вольтметр можно применять для измерения напряжения на тех участках цепи, сопротивление которых мало по сравнению с сопротивлением самого вольтметра.

Измерительные приборы – вольтметры и амперметры – бывают двух видов: стрелочные (аналоговые) и цифровые. Цифровые электроизмерительные приборы представляют собой сложные электронные устройства. Обычно цифровые приборы обеспечивают более высокую точность измерений.

1.8. Шунт и добавочное сопротивление

Каждый амперметр и вольтметр рассчитаны на некоторые максимальные значения сил токов и напряжений соответственно, при превышении которых прибор может перегореть. Для расширения пределов измерения амперметров применяется шунты, а вольтметров – добавочные сопротивления.

Шунт – шунт (англ. shunt – ответвление) – электрический проводник или магнитопровод, присоединяемый параллельно участку электрической или магнитной цепи для ответвления части электрического тока (магнитного потока) в обход данного участка.

Например, шунты используются для расширения пределов измерений амперметров. Такие шунты должны обладать малым электрическим сопротивлением. Шунты изготовляют в виде пластин, лент, проволоки.

Рис. 8.

Пример. Найдем сопротивление шунта, который необходимо подключить к амперметру для измерения силы тока в цепи, в n раз превышающей силу тока, на которую рассчитан прибор: . Сопротивление амперметра обозначим через . При подключении шунта часть измеряемой силы тока пойдет по нему. Через амперметр должен идти ток, не превышающий (рис. 8). Сила тока меньше измеряемой в n раз . Следовательно, цена деления прибора возрастет в n раз для случая, если шкала прибора равномерная, т.е. отклонению стрелки на одно деление будет соответствовать в n раз большая сила тока. Иначе говоря, чувствительность амперметра уменьшится в n раз: при подключении шунта стрелка прибора отклонится на угол, в n раз меньший, чем без него.

При параллельном соединении , а напряжение на шунте и амперметре одинаково и, согласно закону Ома, равно: . Исключая силу тока из двух последних уравнений, получим:

(7)

Дополнительное (добавочное) сопротивление – достаточно большое сопротивление,включенное последовательно с прибором или потребителем тока. Служит для уменьшения напряжения на конечном потребителе. Рассчитывается исходя из необходимого напряжения на потребителе и тока потребления.

Добавочные сопротивления изготовляют чаще всего из манганина или константана. Оба эти материала имеют большое удельное сопротивление и малый температурный коэффициент сопротивления.

Пример. Любой вольтметр рассчитан на предельное напряжение . Но с помощью подключения последовательно с вольтметром добавочного сопротивления можно измерять в n раз большие напряжения: . Найдем добавочное сопротивление, необходимое для измерения напряжений, в n раз больших тех, на которые рассчитан прибор.

Рис. 9.

При включении в цепь вольтметра добавочного сопротивления вольтметр по-прежнему измеряет напряжение , но это составляет лишь часть измеряемого напряжения . Напряжение на добавочном сопротивлении (рис.9). Поэтому пределы измерения увеличиваются в раз, и во столько же раз увеличивается цена деления вольтметра, а, следовательно, уменьшается его чувствительность.

В вольтметре и добавочном сопротивлении сила тока одинакова, так как они включены последовательно. Поэтому:

, , и .

При последовательном соединении напряжение на участке равно сумме напряжений на отдельных резисторах участка, т.е. . Следовательно, . Отсюда:

.

Шунты и добавочные сопротивления могут быть установлены внутри корпуса прибора или подключаться к его зажимам на время измерений.

В настоящее время, главным образом для нужд лабораторий, изготавливают универсальные приборы, снабжаемые набором шунтов и дополнительных сопротивлений. Такие приборы используются как для измерения токов, так и для измерения напряжений в очень широких пределах. Например, можно измерять токи от до сотен ампер. Так же широк диапазон измеряемых напряжений.

В результате включения в цепь , и , изменится цена деления (и чувствительность) гальванометра. Поэтому необходимо провести градуировку прибора уже в качестве амперметра или вольтметра, т.е. сопоставить делениям шкалы гальванометра значения тока или напряжения, полученные в результате вычислений.