Смешанное произведение векторов. Определение 2. Смешанным произведением упорядоченной тройки геометрических векторов , , называется число

Определение 2. Смешанным произведением упорядоченной тройки геометрических векторов , , называется число, равное .

Итак, для того, чтобы найти смешанное произведение векторов, надо, не меняя порядок этих векторов, найти их векторное произведение, а затем скалярное произведение полученного и оставшегося векторов.

Для смешанного произведения векторов используются обозначения: .

Теорема 3. Смешанное произведение упорядоченной тройки некомпланарных векторов , и равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, и взятому со знаком «», если тройка векторов – правая, и взятому со знаком «», если тройка векторов – левая.

Доказательство. Пусть заданы векторы , , . Рассмотрим векторное

произведение векторов и . Это вектор, перпендикулярный плоскости векторов , , равный по длине площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Рассмотрим теперь скалярное произведение векторов и . Отметим, что векторы , и вектор образуют правую тройку векторов. Поэтому, если векторы , , также образуют правую тройку векторов, то векторы и образуют между собой острый угол и их скалярное произведение положительно. (Иначе оно отрицательно.) В то же время , т. е. смешанное , , по модулю равно произведению площади основания параллелепипеда (параллелограмма, построенного на векторах , ) на высоту к этому основанию. Теорема доказана.

Итак, результатом смешанного произведения векторов является число, равное 0, если векторы , , компланарны, т. е. лежат в одной плоскости. Если векторы , , не лежат в одной плоскости, то смешанное произведение положительно, когда векторы , , являются правой тройкой векторов, и оно отрицательно, когда векторы , , являются левой тройкой векторов.

5. Вычисление смешанного произведения
в декартовой системе координат

Теорема 4. Смешанное произведение упорядоченной тройки некомпланарных векторов равно определителю, у которого первая строка состоит из координат первого вектора, вторая строка состоит из координат второго вектора, третья строка состоит из координат третьего вектора.

Доказательство. Пусть заданы векторы , , . Рассмотрим векторное произведение . Если мы этот вектор скалярно умножим на вектор , то получим искомую величину . Теорема доказана.

Отметим некоторые свойства смешанного произведения.

1) Если поменять местами 2 вектора тройки векторов, их смешанное произведения изменит знак.

2) Объем параллелепипеда равен модулю смешанного произведения векторов, образующих этот параллелепипед.

3) Объем тетраэдра равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов, образующих этот тетраэдр.

4) Смешанное произведение трех векторов равно 0 тогда и только тогда, когда эти векторы линейно зависимы.