Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Смешанное произведение векторов. Определение 2. Смешанным произведением упорядоченной тройки геометрических векторов , , называется число





Определение 2. Смешанным произведением упорядоченной тройки геометрических векторов , , называется число, равное .

Итак, для того, чтобы найти смешанное произведение векторов, надо, не меняя порядок этих векторов, найти их векторное произведение, а затем скалярное произведение полученного и оставшегося векторов.

Для смешанного произведения векторов используются обозначения: .

Теорема 3. Смешанное произведение упорядоченной тройки некомпланарных векторов , и равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, и взятому со знаком «», если тройка векторов – правая, и взятому со знаком «», если тройка векторов – левая.

Доказательство. Пусть заданы векторы , , . Рассмотрим векторное

произведение векторов и . Это вектор, перпендикулярный плоскости векторов , , равный по длине площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Рассмотрим теперь скалярное произведение векторов и . Отметим, что векторы , и вектор образуют правую тройку векторов. Поэтому, если векторы , , также образуют правую тройку векторов, то векторы и образуют между собой острый угол и их скалярное произведение положительно. (Иначе оно отрицательно.) В то же время , т. е. смешанное , , по модулю равно произведению площади основания параллелепипеда (параллелограмма, построенного на векторах , ) на высоту к этому основанию. Теорема доказана.

Итак, результатом смешанного произведения векторов является число, равное 0, если векторы , , компланарны, т. е. лежат в одной плоскости. Если векторы , , не лежат в одной плоскости, то смешанное произведение положительно, когда векторы , , являются правой тройкой векторов, и оно отрицательно, когда векторы , , являются левой тройкой векторов.

5. Вычисление смешанного произведения
в декартовой системе координат

Теорема 4. Смешанное произведение упорядоченной тройки некомпланарных векторов равно определителю, у которого первая строка состоит из координат первого вектора, вторая строка состоит из координат второго вектора, третья строка состоит из координат третьего вектора.

Доказательство. Пусть заданы векторы , , . Рассмотрим векторное произведение . Если мы этот вектор скалярно умножим на вектор , то получим искомую величину . Теорема доказана.

Отметим некоторые свойства смешанного произведения.

1) Если поменять местами 2 вектора тройки векторов, их смешанное произведения изменит знак.

2) Объем параллелепипеда равен модулю смешанного произведения векторов, образующих этот параллелепипед.

3) Объем тетраэдра равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов, образующих этот тетраэдр.

4) Смешанное произведение трех векторов равно 0 тогда и только тогда, когда эти векторы линейно зависимы.







Дата добавления: 2015-10-12; просмотров: 465. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...


Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...


Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...


Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Прием и регистрация больных Пути госпитализации больных в стационар могут быть различны. В цен­тральное приемное отделение больные могут быть доставлены: 1) машиной скорой медицинской помощи в случае возникновения остро­го или обострения хронического заболевания...

ПУНКЦИЯ И КАТЕТЕРИЗАЦИЯ ПОДКЛЮЧИЧНОЙ ВЕНЫ   Пункцию и катетеризацию подключичной вены обычно производит хирург или анестезиолог, иногда — специально обученный терапевт...

Ситуация 26. ПРОВЕРЕНО МИНЗДРАВОМ   Станислав Свердлов закончил российско-американский факультет менеджмента Томского государственного университета...

ЛЕЧЕБНО-ПРОФИЛАКТИЧЕСКОЙ ПОМОЩИ НАСЕЛЕНИЮ В УСЛОВИЯХ ОМС 001. Основными путями развития поликлинической помощи взрослому населению в новых экономических условиях являются все...

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ МОРФЕМНОГО СОСТАВА СЛОВА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ В практике речевого общения широко известен следующий факт: как взрослые...

СИНТАКСИЧЕСКАЯ РАБОТА В СИСТЕМЕ РАЗВИТИЯ РЕЧИ УЧАЩИХСЯ В языке различаются уровни — уровень слова (лексический), уровень словосочетания и предложения (синтаксический) и уровень Словосочетание в этом смысле может рассматриваться как переходное звено от лексического уровня к синтаксическому...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия