Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Смешанное произведение векторов. Определение 2. Смешанным произведением упорядоченной тройки геометрических векторов , , называется число





Определение 2. Смешанным произведением упорядоченной тройки геометрических векторов , , называется число, равное .

Итак, для того, чтобы найти смешанное произведение векторов, надо, не меняя порядок этих векторов, найти их векторное произведение, а затем скалярное произведение полученного и оставшегося векторов.

Для смешанного произведения векторов используются обозначения: .

Теорема 3. Смешанное произведение упорядоченной тройки некомпланарных векторов , и равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, и взятому со знаком «», если тройка векторов – правая, и взятому со знаком «», если тройка векторов – левая.

Доказательство. Пусть заданы векторы , , . Рассмотрим векторное

произведение векторов и . Это вектор, перпендикулярный плоскости векторов , , равный по длине площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Рассмотрим теперь скалярное произведение векторов и . Отметим, что векторы , и вектор образуют правую тройку векторов. Поэтому, если векторы , , также образуют правую тройку векторов, то векторы и образуют между собой острый угол и их скалярное произведение положительно. (Иначе оно отрицательно.) В то же время , т. е. смешанное , , по модулю равно произведению площади основания параллелепипеда (параллелограмма, построенного на векторах , ) на высоту к этому основанию. Теорема доказана.

Итак, результатом смешанного произведения векторов является число, равное 0, если векторы , , компланарны, т. е. лежат в одной плоскости. Если векторы , , не лежат в одной плоскости, то смешанное произведение положительно, когда векторы , , являются правой тройкой векторов, и оно отрицательно, когда векторы , , являются левой тройкой векторов.

5. Вычисление смешанного произведения
в декартовой системе координат

Теорема 4. Смешанное произведение упорядоченной тройки некомпланарных векторов равно определителю, у которого первая строка состоит из координат первого вектора, вторая строка состоит из координат второго вектора, третья строка состоит из координат третьего вектора.

Доказательство. Пусть заданы векторы , , . Рассмотрим векторное произведение . Если мы этот вектор скалярно умножим на вектор , то получим искомую величину . Теорема доказана.

Отметим некоторые свойства смешанного произведения.

1) Если поменять местами 2 вектора тройки векторов, их смешанное произведения изменит знак.

2) Объем параллелепипеда равен модулю смешанного произведения векторов, образующих этот параллелепипед.

3) Объем тетраэдра равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов, образующих этот тетраэдр.

4) Смешанное произведение трех векторов равно 0 тогда и только тогда, когда эти векторы линейно зависимы.







Дата добавления: 2015-10-12; просмотров: 465. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...


Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...


Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Условия, необходимые для появления жизни История жизни и история Земли неотделимы друг от друга, так как именно в процессах развития нашей планеты как космического тела закладывались определенные физические и химические условия, необходимые для появления и развития жизни...

Метод архитекторов Этот метод является наиболее часто используемым и может применяться в трех модификациях: способ с двумя точками схода, способ с одной точкой схода, способ вертикальной плоскости и опущенного плана...

Примеры задач для самостоятельного решения. 1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P   1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P...

Плейотропное действие генов. Примеры. Плейотропное действие генов - это зависимость нескольких признаков от одного гена, то есть множественное действие одного гена...

Методика обучения письму и письменной речи на иностранном языке в средней школе. Различают письмо и письменную речь. Письмо – объект овладения графической и орфографической системами иностранного языка для фиксации языкового и речевого материала...

Классификация холодных блюд и закусок. Урок №2 Тема: Холодные блюда и закуски. Значение холодных блюд и закусок. Классификация холодных блюд и закусок. Кулинарная обработка продуктов...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия