Интегрирование дробно-рациональных функций.

Пример:

Пример:

Пример:

Пример:

Пример:

Пример:

 

Простейшие рациональные дроби и их интегрирование.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Правильные рациональные дроби вида:

называются простейшими дробями 1, 2, 3 и 4 типов.

Рассмотрим приемы интегрирования каждой дроби в отдельности:

Пример:

Пример:

Пример:

Пример:

Интегрирование дробно-рациональных функций.

Всякую рациональную функцию можно представить в виде дроби.

Если m ³ n, то дробь называется неправильной и, разделив числитель на знаменатель, можно выделить целую часть в виде многочлена и представить как сумму многочлена и какой-то правильной рациональной дроби, т.е.

Таким образом, интегрирование дробно-рациональной функции сводится к интегрированию многочлена, который не вызывает затруднений, и правильной рациональной дроби. Другими словами вся трудность заключается в интегрировании правильной рациональной дроби. Однако всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших правильных рациональных дробей 1–4 типов. Разложение на простейшие дроби зависит от корней знаменателя. Для краткости обозначения допустим, что

Возможны следующие случаи:

1) корни f(x) = 0 действительные и различные, т.е. f(x) = (x – c)×(x – b)×…×(x – c), тогда дробь разложится на простейшие дроби первого типа, т.е.

Пример:

2) среди корней знаменателя присутствуют действительные кратные корни, т.е.

Пример:

3) среди корней знаменателя есть комплексные корни, т.е.

Пример:

4) среди корней знаменателя присутствуют кратные корн, т.е.

Пример: