Дополнительные задачи

 

6.1. В треугольнике АВС точка О – точка пересечения медиан. Разложите векторы и по векторам и .

6.2. Разложите вектор по векторам , и .

6.3. В трапеции АВСD (ВС || AD) точки М и N – середины сторон АВ и CD соответственно. Найдите координаты вектора , если , , .

6.4. Найдите скалярное произведение векторов и – диагоналей четырехугольника ABCD, если , , .

6.5. Найдите длину вектора , если , , .

6.6. Найдите скалярное и векторное произведение векторов и .

6.7. Найдите проекцию вектора на ось, составляющую с осями координат равные острые углы.

6.8. Найдите внутренний угол А треугольника АВС с вершинами A (1; 2; 3), B (3; 2; 1), C (1; 4; 1).

6.9. Найдите площадь треугольника АВС с вершинами А (3; –1; –4), В (5; 2; –2), С (7; –4; –2).

6.10. Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если , , .

6.11. Найдите объём параллелепипеда, построенного на векторах , и .

6.12. Покажите, что точки A (5; 7; –2), B (3; 1; –1), C (9; 4; –4), D (1; 5; 0) лежат в одной плоскости.

6.13. В правильном тетраэдре SАВС точка М – середина стороны SС. Найдите угол между ребрами пирамиды SA и BM.

 

ОТВЕТЫ

Разложение векторов

 

1.1. . 1.2. .

1.3. . 1.4. . 1.5. .

1.6. . 1.7. . 1.8. .

 

Векторы в декартовой прямоугольной системе координат

 

2.1. 3. 2.2. , , , . 2.3. М (; 3; 3)

или М (; 3; –3). 2.4. 3. 2.5. . 2.6. D (10; –5; 3).

2.7. , , , .

2.8. . 2.9. , . 2.10. .

 

Скалярное произведение векторов

 

3.1. –14. 3.2. –11. 3.3. . 3.4. , . 3.5. . 3.6. –8. 3.7. 7.

3.8. 45°. 3.9. 5. 3.10. . 3.11. 120°. 3.12. 1. 3.13. 135°. 3.14. –4.

3.15. .

 

Векторное произведение векторов

4.1. а) ; б) . 4.2. 7. 4.3. 21. 4.4. . 4.5. 15. 4.6. 9.

4.7. . 4.8. 11. 4.9. а) ; б) . 4.10. 5.

4.11. .

 

Смешанное произведение векторов

 

5.1. а) ; б) . 5.2. 39. 5.3. 12. 5.4. 4. 5.6. 5. 5.7. ±27. 5.8. 11.

5.9. Векторы компланарные.

Дополнительные задачи

 

6.1. , . 6.2. .

6.3. . 6.4. 4. 6.5. 4. 6.6. , . 6.7. .

6. 8. 60°. 6.9. 11. 6.10. 7. 6.11. 12. 6.13. .