Методические указания к проведению лекционного занятия

Тема № 1.9. Комплексные числа.

План:

1. Основные понятия и определения.

2. Действия с комплексными числами.

3. Показательная форма комплексного числа.

Основные понятия и определения

 

Опр.: Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:

При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b - мнимой частью (b = Im z).

Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.

 

Опр.: Числа и называются комплексно – сопряженными.

 

Опр.: Два комплексных числа и называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:

 

Замечание: Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.

 

Геометрическое представление комплексного числа:

Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел.

Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью.

 

 

Таким образом, на оси Ох располагаются действительные числа, а на оси Оу – чисто мнимые.

С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.

 

 

Тригонометрическая форма числа:

Из геометрических соображений видно, что . Тогда комплексное число можно представить в виде:

 

Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона j - аргументом комплексного числа.

.

 

Из геометрических соображений видно:

 

Очевидно, что комплексно – сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы.