Задание. На множестве Х: {х1, х2, x3, x4} = {1, 2, 3, 4} заданы отношения:

Цель работы:

1. Изучить основные понятия бинарных отношений;

2. Изучить задание отношений и их свойства.

На множестве Х: {х₁, х₂, x₃, x₄} = {1, 2, 3, 4} заданы отношения:

а) R = «<»; б) R = «>»; в) R = «≥»; г) R = «=»; д) R = «≠».

Для каждого отношения R определить его как подмножество декартова произведения Х × X, построить матрицу отношения С, определить свойства отношения.

Для каждого свойства выписать формулу, нарисовать граф, привести пример.

а) R = «<»

Х × X = {х₁, х₂, x₃, x₄} × {х₁, х₂, x₃, x₄} = {х₁x₁, х₁x₂, х₁x₃, х₁x₄, х₂x₁, х₂x₂, х₂x₃, х₂x₄, х₃x₁, х₃x₂, х₃x₃, х₃x₄, х₄x₁, х₄x₂, х₄x₃, х₄x₄} = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)}.

R = {х₁x₂, х₁x₃, х₁x₄, х₂x₃, х₂x₄, х₃x₄} = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)}.

C

Свойства отношения:

· Транзитивность
xRy и yRz => xRz
x = 1 y = 2 z = 3
1 < 2 2 < 3 => 1 < 3

б) R = «>»

Х × X = {х₁, х₂, x₃, x₄} × {х₁, х₂, x₃, x₄} = {х₁x₁, х₁x₂, х₁x₃, х₁x₄, х₂x₁, х₂x₂, х₂x₃, х₂x₄, х₃x₁, х₃x₂, х₃x₃, х₃x₄, х₄x₁, х₄x₂, х₄x₃, х₄x₄} = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)}.

R = {х₂x₁, х₃x₁, х₃x₂, х₄x₁, х₄x₂, х₄x₃} = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)}.

C

Свойства отношения:

· Транзитивность
xRy и yRz => xRz
x = 4 y = 3 z = 3
4 > 3 3 > 2 => 4 > 2

в) R = «≥»

Х × X = {х₁, х₂, x₃, x₄} × {х₁, х₂, x₃, x₄} = {х₁x₁, х₁x₂, х₁x₃, х₁x₄, х₂x₁, х₂x₂, х₂x₃, х₂x₄, х₃x₁, х₃x₂, х₃x₃, х₃x₄, х₄x₁, х₄x₂, х₄x₃, х₄x₄} = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)}.

R = {х₁x₁, х₂x₁, х₂x₂, х₃x₁, х₃x₂, х₃x₃, х₄x₁, х₄x₂, х₄x₃, х₄x₄} = {(1,1), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)}.

C

Свойства отношения:

· Рефлексивность
xRx
x = 1 => 1 ≥ 1

· Транзитивность
xRy и yRz => xRz
x = 4 y = 3 z = 3
4 > 3 3 > 2 => 4 > 2

г) R = «=»

Х × X = {х₁, х₂, x₃, x₄} × {х₁, х₂, x₃, x₄} = {х₁x₁, х₁x₂, х₁x₃, х₁x₄, х₂x₁, х₂x₂, х₂x₃, х₂x₄, х₃x₁, х₃x₂, х₃x₃, х₃x₄, х₄x₁, х₄x₂, х₄x₃, х₄x₄} = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)}.

R = {х₁x₁, х₂x₂, х₃x₃, х₄x₄} = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)}.

C

Свойства отношения:

· Рефлексивность
xRx
x = 1 => 1 = 1

· Транзитивность
xRy и yRz => xRz
x = 1 y = 1 z = 1
1 = 1 1 = 1 => 1 = 1

· Симметричность
xRy => yRx
1 = 1 => 1 = 1

д) R = «≠»

Х × X = {х₁, х₂, x₃, x₄} × {х₁, х₂, x₃, x₄} = {х₁x₁, х₁x₂, х₁x₃, х₁x₄, х₂x₁, х₂x₂, х₂x₃, х₂x₄, х₃x₁, х₃x₂, х₃x₃, х₃x₄, х₄x₁, х₄x₂, х₄x₃, х₄x₄} = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)}.

R = {х₁x₂, х₁x₃, х₁x₄, х₂x₁, х₂x₃, х₂x₄, х₃x₁, х₃x₂, х₃x₄, х₄x₁, х₄x₂, х₄x₃} = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)}.

C

Свойства отношения:

· Симметричность
xRy => yRx
1 ≠ 2 => 2 ≠ 1

Контрольные вопросы: