Свойства первообразной.

Свойства первообразной.

Перечислим свойства первообразной.

1. Если F– первообразная для функции f, то F + С, где С – константа, также является первообразной для той же функции. Действительно, (F + С)' = F' + С ' = f + 0 = f.

2. Если F1 и F2 – две первообразные для одной и той же функции f, то они отличаются на постоянное слагаемое.
Действительно, если F₁' = f и F₂' = f, то (F₁ - F₂)' = F₁ ' – F₂' = f - f = 0. Функция, производная которой тождественно равна нулю, является постоянной. Итак, F₁ – F₂ = С.
Таким образом, все первообразные для функции f получаются из одной из них прибавлением к ней произвольной постоянной. Надо помнить, что знак является «неопределенным» в том смысле, что он обозначает какую-нибудь первообразную.

3.

Действительно, пусть F и G – первообразные для функций f и g соответственно. Тогда F + G является первообразной для функции f + g: (F + G)' = F' + G' =f + g.

4.

Доказывается аналогично. 5. Линейная замена переменной.

Теорема. Пусть F – первообразная для функции f. Тогда Действительно, вычислим производную от F(kx + b): (F(kx + b))' = kF '(kx + b) = kf (kx + b). Отсюда F (kx + b) является первообразной для функции kf (kx + b).

40. Определение неопределенного интеграла.

Дадим строгое математическое определение понятия неопределенного интеграла.

Выражение вида называется интегралом от функции f(x), где f(x) - подынтегральная функция, которая задается (известная), dx - дифференциал x, с символом всегда присутствует dx.

Определение. Неопределенным интегралом называется функция F(x) + C, содержащая произвольное постоянное C, дифференциал которой равен подынтегральному выражению f(x)dx, т.е. или Функцию называют первообразной функции . Первообразная функции определяется с точностью до постоянной величины.

Напомним, что - дифференциал функции и определяется следующим образом:

Задача нахождения неопределенного интеграла заключается в нахождении такой функции, производная которой равняется подынтегральному выражению. Данная функция определяется с точностью до постоянной, т.к. производная от постоянной равняется нулю.

Например, известно, что , тогда получается, что , здесь - произвольная постоянная.

Задача нахождение неопределенного интеграла от функций не столь простая и легкая, как кажется на первый взгляд. Во многих случаях должен быть навык работы с неопределенными интегралами, должен быть опыт, который приходит с практикой и с постоянным решением примеров на неопределенные интегралы. Стоит учитывать тот факт, что неопределенные интегралы от некоторых функций (их достаточно много) не берутся в элементарных функциях.