Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

График дифференцируемой функции называется выпуклым вниз на интервале , если он расположен выше её касательной на этом интервале. График функции называется выпуклым вверх на интервале , если он расположен ниже её касательной на этом интервале.

Точка графика непрерывной функции , отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба.

Кривая выпукла вверх в интервале , выпукла вниз в интервале , точка – точка перегиба.

Теорема 9. Если функция во всех точках интервала имеет отрицательную вторую производную, т.е. , то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же – график выпуклый вниз.

Для нахождения точек перегиба графика функции используется следующая теорема.

Теорема 10. (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная при переходе через точку , в которой она = 0 или , меняет знак, то точка графика с абсциссой есть точка перегиба.

 

Пример. Исследовать на выпуклость и точки перегиба график функции .

Находим, что , . 2 –ая производная на всей числовой оси: при .

при ; при .

график функции в интервале – выпуклый вверх, в интервале – выпуклый вниз. Точка есть точка перегиба.

 

Асимптоты графика функции.

Построение графика функции значительно облегчается, если знать его асимптоты.

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремиться к 0 при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.

Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.

Говорят, что прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если , или , или .

Действительно, в этом случае непосредственно из рисунка видно, что расстояние точки кривой от прямой равно . Если , то . Согласно определению асимптоты, прямая является асимптотой кривой .

Для отыскания вертикальных асимптот нужно найти те значения , вблизи которых функция неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва 2 –го рода.

Например, кривая имеет вертикальную асимптоту , так как , .

 

Уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде

.

Найдём и .

.

.

Итак, если наклонная асимптота , то и находятся по приведённым выше формулам.

 

Верно и обратное утверждение: если конечные пределы и , то прямая является наклонной асимптотой.

 

Если хотя бы один из пределов или , или , то кривая наклонной асимптоты не имеет.

 

В частности, если , то . Поэтому – уравнение горизонтальной асимптоты.

 

Замечание: Асимптоты графика функции при и могут быть разными. Поэтому при нахождении пределов и следует отдельно рассматривать случай, когда и когда .

 

Пример. Найти асимптоты графика функции .

Так как , то график функции при наклонной асимптоты не имеет.

При справедливы соотношения

,

.

при график имеет горизонтальную асимптоту .

Общая схема исследования функции и построение графика.

Исследование функции целесообразно вести в определённой последовательности.

1. Найти область определения функции.

 

2. Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат.

 

3. Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых или ).

 

4. Выяснить, является ли функция чётной, нечётной или общего вида.

 

5. Найти асимптоты графика функции.

 

6. Найти интервалы монотонности функции.

 

7. Найти экстремумы функции.

 

8. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции.

На основании проведенного исследования построить график функции. В более простых случаях достаточно выполнить лишь несколько операций, например 1, 2, 7. Если же график функции не совсем понятен и после выполнения всех 8 операций, то можно дополнительно исследовать функцию на периодичность, построить дополнительно несколько точек графика, выявить другие особенности функции. Иногда целесообразно выполнение операций исследования сопровождать постепенным построением графика функции.

 

Пример. Исследовать функцию и построить её график.

Выполним все 8 операций схемы исследования.

1. Функция не определена при и . Область её определения состоит из 3 интервалов , , , а график из 3 ветвей.

 

2. Если , то . График пересекает ось в точке ; если , то . График пересекает ось в точке .

 

3. Функция знакоположительна () в интервалах и ; знакоотрицательна – в и .

 

4. Функция является нечетной, т.к.

.

график её симметричен относительно начала координат.

Для построения графика достаточно исследовать её при .

 

5. Прямые и являются её вертикальными асимптотами.

Выясним наличие наклонной асимптоты:

( при и при ),

.

 

есть горизонтальная асимптота, её уравнение . Прямая является асимптотой и при , и при .

 

6. Находим интервалы возрастания и убывания функции. Так как

 

,

 

то в области определения, и функция является возрастающей на каждом интервале области определения.

7. Исследуем функцию на экстремум. Так как , то критическими точками являются точки и ( не существует), но они не принадлежат области определения функции. Функция экстремумов не имеет.

 

8. Исследуем функцию на выпуклость. Находим :

 

.

 

Вторая производная или не существует в точках , , .

На рисунке представлена схема изменения знаков 2 – ой производной исследуемой функции.

 

Точка – точка перегиба графика функции.

График выпуклый вверх на интервалах и ; выпуклый вниз на интервалах и .