Исследование функций при помощи производных

Исследование функций при помощи производных

 

Теорема 1. (Ролль). Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и на концах отрезка принимает одинаковые значения , то найдётся хотя бы одна точка , в которой производная обращается в нуль, т.е. .

 

Так как функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений (по теореме Вейерштрасса), соответственно и . Если , то функция постоянна на и, следовательно, её производная в любой точке отрезка .

Если , то функция достигает хотя бы одно из значений или во внутренней точке интервала , так как .

 

 

Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции найдётся точка, в которой касательная к графику параллельна оси . Может быть и не одна такая точка, например, две.

 

Теорема 2. (Коши). Если функции и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале , причём для для , то найдётся хотя бы одна точка такая, что выполняется равенство .

Отметим, что , так как в противном случае по теореме Ролля нашлась бы точка , такая, что , чего не может быть по условия теоремы.

 

Теорема 3. (Лагранж). Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то найдётся хотя бы одна точка такая, что выполняется равенство .

 

Эту формулу называют формулой Лагранжа или формулой о конечном приращении: приращение дифференцируемой функции на отрезке равно приращению аргумента, умноженному на значение производной функции в некоторой внутренней точке этого отрезка.

 

Следствие 1. Если производная функции = 0 на некотором промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.

 

Следствие 2. Если 2 функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

Теорема 4. (необходимые условия). Если дифференцируемая на интервале функция возрастает (убывает), то для .

Теорема 5. (достаточные условия). Если функция дифференцируема на интервале и для , то эта функция возрастает (убывает) на интервале .

Рассмотренные теоремы позволяют довольно просто исследовать функцию на монотонность.

Функция возрастающая или убывающая называется монотонной.

 

Пример. Исследовать функцию на возрастание и убывание.

Функция определена на .

Её производная равна: ;

при ; при .

данная функция возрастает на интервалах и ; убывает на интервале .

 

Максимум и минимум функций.

Точка называется точкой максимума функции , если такая – окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство .

Аналогично определяется точка минимума функции: – точка минимума функции, если

 

 

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом функции.

 

Понятие экстремума всегда связано с определённой окрестностью точки из области определения функции. Поэтому функция может иметь экстремум лишь во внутренних точках области определения. Рассмотрим условия существования экстремума функции.

 

Теорема 6. (необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то её производная в этой точке равна нулю: .

Геометрически равенство

означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции касательная к её графику параллельна оси .

 

Обратная теорема неверна, т.е. если , то это не значит, что – точка экстремума.

 

Например, для функции её производная равна нулю при , но не точка экстремума.

 

Существуют функции, которые в точках экстремума не имеют производной. Например, непрерывная функция в точке производной не имеет, но точка – точка минимума.

Таким образом, непрерывная функция может иметь экстремум лишь в точках, где производная функции равна нулю или не . Такие точки называют критическими.

 

Теорема 7. (достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой – окрестности критической точки и при переходе через неё (слева направо) производная меняет знак с плюса на минус, то есть точка максимума; с минуса на плюс, то – точка минимума.

Исследовать функцию на экстремум означает найти все её экстремумы.

 

Из приведённых теорем вытекает следующее правило исследования функции на экстремум:

1) найти критические точки функции ;

2) выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции;

3) исследовать знак производной слева и справа от каждой из выбранных критических точек;

4) в соответствии с теоремой о достаточном условии экстремума, выписать точки экстремума (если они есть) и вычислить значения функции в них.

 

Пример. Найти экстремум функции .

. Находим , т.е. .

 

Производная при и равна нулю при . Эти точки разбивают всю область определения данной функции на три интервала , , . Отметим на рисунке знаки производной слева и справа от каждой из критических точек.

– точка максимума, , и

– точка минимума, .

Иногда бывает удобным использовать другой достаточный признак существования экстремума, основанный на определении знака 2 –ой производной.

 

Теорема 8. Если в точке первая производная функции равна нулю (), а 2 –ая производная в точке и отлична от нуля

(), то при в точке функция имеет максимум и минимум – при .