Формулировка задания.

Найти для своего варианта решение системы линейных уравнений Аx=b;

1) Методом обратной матрицы x= А^-1*b, используя функции Excel.

2) Методом простой итерации с точностью до 0,001

X_i^(k+1)=1/a_ij(b_i- x_j^(k)- x_j^(k))

3) Методом Гаусса- Зейделя с точностью до 0,001

X_i^(k+1)=1/a_ij(b_i- x_j^(k)- x_j^(k))

Здесь k-номер итерации, n- количество уравнений, х_i⁽⁰⁾- начальное приближение. Оформить вычисления в виде таблиц.

 

 

Метод обратной матрицы.

			-5	-11	-19
Матрица А			-11	-20
	-1		-19
				-5

 

		-9
Матрица В	-8
-7
		-6

 

		0,017711	-0,00023	0,01263	0,027228
Матрица обратная	-0,01027	0,025954	0,011628	0,025951
-0,01108	-0,003	0,036352	0,020007
		-0,00996	-0,00554	-0,00018	0,033177

 

x1	-0,4093
x2	-0,35235
x3	-0,25078
x4	-0,06392

 

Точное решение.

 

Метод простой итерации

 

			-5	-11	-19
Матрица А			-11	-20
	-1		-19
				-5

 

		-9
Матрица В	-8
-7
		-6

 

К	x1	x2	x3	x4	R
	-0,25	-0,24242	-0,26923	-0,28571	-0,24242
	-0,516729	-0,49775	-0,43927	-0,17269	0,113026
	-0,544494	-0,47785	-0,3152	-0,02482	0,147864
	-0,425781	-0,34604	-0,20104	0,015468	0,131812
	-0,351326	-0,28716	-0,18936	-0,04464	0,074455
	-0,371303	-0,32195	-0,24534	-0,09207	-0,01998
	-0,418274	-0,36875	-0,27749	-0,08831	0,003762
	-0,432614	-0,37577	-0,26751	-0,06245	0,025862
	-0,416889	-0,35633	-0,24612	-0,05122	0,021387
	-0,401731	-0,34288	-0,2402	-0,05807	0,015159
	-0,401665	-0,34551	-0,2476	-0,06716	6,61E-05
	-0,409091	-0,35349	-0,25436	-0,06846	-0,0013
	-0,412947	-0,3563	-0,25418	-0,06466	0,0038
	-0,411279	-0,35383	-0,25077	-0,06206	0,003411
	-0,408522	-0,35116	-0,2491	-0,06259	0,002757
	-0,407923	-0,35101	-0,24992	-0,06415	0,000599

 

Х₁=1/36*(-9-(-5)*0-(-11)*0-(-19)*0)= -0,25

Х₂=1/33*(-8-1*0-(-11)*0-(-20)*0)=-0,24242

Х₃=1/26*(-7-5*0-(-1)*0-(-19)*0)=- 0,26923

Х₄=1/21*(-6-11*0-4*0-(-5)*0)= -0,28571

R = max (Х1₁ –Х1₀)или(Х2₁ –Х2₀)или(Х3₁ –Х3₀)или(Х4₁ –Х4₀)

Метод Гаусса- Зейделя

 

			-5	-11	-19
Матрица А			-11	-20
	-1		-19
				-5

 

		-9
Матрица В	-8
-7
		-6

 

K	x1	x2	x3	x4	R
	-0,25	-0,234848	-0,23019	-0,16484	-0,16484
	-0,43995	-0,405721	-0,32069	-0,05434	0,110497
	-0,43302	-0,36913	-0,23986	-0,0457	0,080822
	-0,39868	-0,337993	-0,23896	-0,0694	0,034339
	-0,40658	-0,351814	-0,25529	-0,06651	0,002886
	-0,41197	-0,355346	-0,25228	-0,0623	0,004211
	-0,40932	-0,351871	-0,24958	-0,06371	0,003475
	-0,40875	-0,351841	-0,25071	-0,06428	0,000565

Х₁=1/36*(-9-(-5)*0-(-11)*0-(-19)*0)= -0,25

Х₂=1/33*(-8-1*(-0,25)-(-11)*0-(-20)*0)=-0,234848

Х₃=1/26*(-7-5*(-0,25)-(-1)*(-0,234848)-(-19)*0)=- 0,23019

Х₄=1/21*(-6-11*(-0,25)-4*(-0,234848) -(-5)*(-0,23019)= -0,16484

R = max (Х1₁ –Х1₀)или(Х2₁ –Х2₀)или(Х3₁ –Х3₀)или(Х4₁ –Х4₀)

 

 

Сравнение результатов, полученных по разным методам решения.

метод решения	решения	число итераций
x1	x2	x3	x4
обратной матрицы	-0,4093	-0,35235	-0,25078	0,06392	-
Гаусса - Зейделя	-0,40875	-0,35184	-0,25071	-0,06428
простой итерации	-0,40792	-0,35101	-0,24992	-0,06415

Можно сделать вывод, что более точный метод обратной матрицы. Метод Гаусса – Зейделя будет быстрый и точный по сравнению с методом простой итерации.